4_4 连续傅里叶级数的性质解析
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北京交通大学 信号处理课程组
连续周期信号的频域分析
连续周期信号的频域表示 连续周期信号的频谱 连续傅里叶级数的性质
连续傅里叶级数的性质
~ x (t )
1 Cn T0
jn0t C e n
n =
T0
0
(t )e jn0t dt x
Cn Cn e jn
A pn
A A sin( n 0 t ) x (t ) 2 p n 1 n
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式
方法2：x(t )
x' (t )
n
Cn e jn0t
Cn ( jn0 )e jn0t
1 jn0t Cn e
x(t )
A
T
40 π
(T0=1/4，t = 1/20， 0= 2p/T0 = 8p)
n 0
T /2 1/40 1 2 2 信号的功率为 P 1 0 x ( t ) d t 4 1 d t =0.2 T /2 1/40 T0 0 5 P1 0 . 1806 90 % P 0 . 200
则有
微分特性
~ x1 (t ) * ~ x2 (t ) T0C1n C2n
பைடு நூலகம்
~ x (t ) Cn ~ 则有 x ' (t ) jn0Cn 若
连续傅里叶级数的性质
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P T0
T0 / 2
T0 / 2
|~ x (t ) | dt
n
T
t
n
x' (t )
A/T
T
1 Cn Cn /( jn0 ), n 0
A 1 又： Cn , n 0 T
T
( A)
t
1 Cn A A Cn , n 0 jn0 jn0T j 2pn
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式 方法2(续) x(t )
n
Ce
n
jn0t
x(t )
A
T
1 Cn Cn /( jn0 ), n 0
T
t
A Cn , n0 j 2pn
A C0 , n 0 (直接从图中计算 ) 2
x' (t )
A/T
T
T
( A)
t
周期矩形脉冲信号的功率谱
因此有效带宽内包含了直流分量和4个谐波分量
信号在有效带宽内的功率为 P1 | Cn |
n=—4
4
2
2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
连续傅里叶级数的性质
~ x (t )
Cn
2
1
0.04
8p
1/4
-1/40
1/40
1/4
t
40 π
Cn n t At Sa( 0 ) T0 2
Cn
2
0.04
8p
A=1，T0=1/4，t = 1/20， 0= 2p/T0 = 8p
Cn 0.2 Sa(n0 / 40) 0.2 Sa(nπ / 5)
第一个零点出现在
2p
40 π
40 π
n 0
t
40p 8p
幅度频谱
相位频谱
连续傅里叶级数的性质
线性特性
若
则
~ x1 (t ) C1n ,
~ x2 (t ) C2n
1 (t ) a2 x 2 (t ) a1 C1n a2 C2n a1 x
对称特性
若
~ x (t ) 为实信号
则 | Cn || Cn | n n
周期矩形信号在有效带宽内各谐波分量的功率之和占整个信号功率的90%
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式
1 T 方法一： C0 x(t )dt T 0 A 2 T 1 Cn x(t )e jn0t dt A j 2pn T 0
x(t )
A
T
T
t
所以 an 0, bn
1 1 P 4 2 6 2 4 2 42 2 2
连续傅里叶级数的性质
[例] 试求周期矩形信号在其有效带宽(0~2p /t)内谐波分量
所具有的功率占整个信号功率的百分比。
其中: A=1，T0=1/4，t =1/20。
~ x (t )
A
T0
t
2
t
2
T0
t
连续傅里叶级数的性质
C0 4
C 1 3
1 P T0
解： 1）根据帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
T0 / 2
T0 / 2
2 ~ x (t ) dt
n
Cn
2
C 2 2
P 22 32 42 32 22 42
(t ) 4 6cos(0t ) 4cos(20t ) 2） x
2
n=
Cn
2
周期信号的功率等于信号所包含的 直流、基波以及各次谐波的功率之和
周期信号的功率频谱：
|Cn|2 随 n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
连续傅里叶级数的性质
[例]
(t ) 4 6cos(0t ) 4cos(20t ) ，求其功率。 x
~ x (t ) 2e j2 0t 3e j0t 4 3e j0t 2e j2 0t
时移特性
(t ) Cn 若 x
(t t0 ) e jn0t0 Cn 则 x
连续傅里叶级数的性质
频移特性
~ x (t ) Cn 则有 ~ x (t )e jM0t CnM 若
卷积特性
若 ~ x1 (t )和~ x2 (t ) 均是周期为T0的周期信号，且 ~ x1 (t ) C1n , ~ x2 (t ) C2n
连续周期信号的频域分析
连续周期信号的频域表示 连续周期信号的频谱 连续傅里叶级数的性质
连续傅里叶级数的性质
~ x (t )
1 Cn T0
jn0t C e n
n =
T0
0
(t )e jn0t dt x
Cn Cn e jn
A pn
A A sin( n 0 t ) x (t ) 2 p n 1 n
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式
方法2：x(t )
x' (t )
n
Cn e jn0t
Cn ( jn0 )e jn0t
1 jn0t Cn e
x(t )
A
T
40 π
(T0=1/4，t = 1/20， 0= 2p/T0 = 8p)
n 0
T /2 1/40 1 2 2 信号的功率为 P 1 0 x ( t ) d t 4 1 d t =0.2 T /2 1/40 T0 0 5 P1 0 . 1806 90 % P 0 . 200
则有
微分特性
~ x1 (t ) * ~ x2 (t ) T0C1n C2n
பைடு நூலகம்
~ x (t ) Cn ~ 则有 x ' (t ) jn0Cn 若
连续傅里叶级数的性质
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P T0
T0 / 2
T0 / 2
|~ x (t ) | dt
n
T
t
n
x' (t )
A/T
T
1 Cn Cn /( jn0 ), n 0
A 1 又： Cn , n 0 T
T
( A)
t
1 Cn A A Cn , n 0 jn0 jn0T j 2pn
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式 方法2(续) x(t )
n
Ce
n
jn0t
x(t )
A
T
1 Cn Cn /( jn0 ), n 0
T
t
A Cn , n0 j 2pn
A C0 , n 0 (直接从图中计算 ) 2
x' (t )
A/T
T
T
( A)
t
周期矩形脉冲信号的功率谱
因此有效带宽内包含了直流分量和4个谐波分量
信号在有效带宽内的功率为 P1 | Cn |
n=—4
4
2
2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
连续傅里叶级数的性质
~ x (t )
Cn
2
1
0.04
8p
1/4
-1/40
1/40
1/4
t
40 π
Cn n t At Sa( 0 ) T0 2
Cn
2
0.04
8p
A=1，T0=1/4，t = 1/20， 0= 2p/T0 = 8p
Cn 0.2 Sa(n0 / 40) 0.2 Sa(nπ / 5)
第一个零点出现在
2p
40 π
40 π
n 0
t
40p 8p
幅度频谱
相位频谱
连续傅里叶级数的性质
线性特性
若
则
~ x1 (t ) C1n ,
~ x2 (t ) C2n
1 (t ) a2 x 2 (t ) a1 C1n a2 C2n a1 x
对称特性
若
~ x (t ) 为实信号
则 | Cn || Cn | n n
周期矩形信号在有效带宽内各谐波分量的功率之和占整个信号功率的90%
例:求周期三角脉冲的Fourier级数表示式
1 T 方法一： C0 x(t )dt T 0 A 2 T 1 Cn x(t )e jn0t dt A j 2pn T 0
x(t )
A
T
T
t
所以 an 0, bn
1 1 P 4 2 6 2 4 2 42 2 2
连续傅里叶级数的性质
[例] 试求周期矩形信号在其有效带宽(0~2p /t)内谐波分量
所具有的功率占整个信号功率的百分比。
其中: A=1，T0=1/4，t =1/20。
~ x (t )
A
T0
t
2
t
2
T0
t
连续傅里叶级数的性质
C0 4
C 1 3
1 P T0
解： 1）根据帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
T0 / 2
T0 / 2
2 ~ x (t ) dt
n
Cn
2
C 2 2
P 22 32 42 32 22 42
(t ) 4 6cos(0t ) 4cos(20t ) 2） x
2
n=
Cn
2
周期信号的功率等于信号所包含的 直流、基波以及各次谐波的功率之和
周期信号的功率频谱：
|Cn|2 随 n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。
连续傅里叶级数的性质
[例]
(t ) 4 6cos(0t ) 4cos(20t ) ，求其功率。 x
~ x (t ) 2e j2 0t 3e j0t 4 3e j0t 2e j2 0t
时移特性
(t ) Cn 若 x
(t t0 ) e jn0t0 Cn 则 x
连续傅里叶级数的性质
频移特性
~ x (t ) Cn 则有 ~ x (t )e jM0t CnM 若
卷积特性
若 ~ x1 (t )和~ x2 (t ) 均是周期为T0的周期信号，且 ~ x1 (t ) C1n , ~ x2 (t ) C2n