高三数学不等关系与不等式练习试题及答案

高三数学不等关系与不等式练习试题及答案

作者：佚名文章来源：网络点击数：更新时间：2014-4-18 17:46:41

一. 教学内容：

不等式高考复习一：不等关系与不等式

二. 教学目的

1、复习不等式的性质及应用

2、复习平均值不等式及其应用

三. 教学重点、难点

不等式的性质及均值不等式

四. 知识分析

（一）不等式的性质及应用

【考点梳理】

考点一：不等式有关概念

1. 不等式定义

用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式．记作

等等．用“＜”或“＞”号连结的不等式叫严格不等式；用“≤”

或“≥”号连结的不等式叫非严格不等式．

2. 同向不等式、异向不等式

对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式．

对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式．

3. 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式

（1）绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式．

（2）条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式．

（3）矛盾不等式：如果不论用什么样的实数代替不等式中的字母它都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式．

4. 关于a≤b和a≥b的含义

不等式“a≥b”的含义是“或者a＞b，或者a＝b”等价于“a不小于b”，即若a＞b 或者a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．

考点二：实数的特征与实数比较大小

1. 实数的两个特征

（1）任意实数的平方不小于0，即。

（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。

2. 实数比较大小的依据和方法

（1）实数比较大小的依据：在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示如图，可以看出a、b之间具有以下性质：

如果是正数，那么；如果是负数，那么；如果等于零，那

么，反之也成立，就是；；。

（2）实数比较大小的基本方法。

比较两个实数的大小，基本方法是作差，对差的正、负作出判断，进而得出结论。

考点三：不等式的性质

1. （对称性）；

2. （传递性）；

3. （可加性）；

4. ；

5. ，；

6. ；

7. （n是大于1的整数）；

8. （n是大于1的整数）。

【方法与技巧】

方法一：特殊值法

对于某些选择题，可采取特殊值法巧妙求解。

例：已知，且，设，，则（）

A. B.

C. D. 答案：A

解析：（特殊值法）取。

由对数函数的单调性知。

，故选A。

方法二：排除法

利用不等式的性质，排除掉干扰项从而选出正确答案，也是解题的一种有效方法技巧。例：若，下列不等式不成立的是

A. B.

C. D.

答案：B

解析：（排除法），

，

。

故知不成立的是B。故选B。

方法三：比差法

作差比较两数（式）大小的依据是：；；

。

例：比较的大小，其中。

解析：

当时，；

当时，。

方法四：比商法

作商比较两数（式）大小的依据：

；

。

例：设且，试比较与的大小。

解析：

当时，，

则，于是。

当时，，

则，于是。

综上所述，对于不相等的正数、b，都有。

【典例精析】

例1. 适当增加不等式条件使下列命题成立：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则。

剖析：本小题考查不等式的性质。

解析：（1）原命题改为若且，则，即增加条件“”。

（2）由可得，但只有时，才有，即增加条件“”。

（3）由可得，但作为真数，应有，故应增加条件“”。

（4）成立的条件有多种（如），与定理4的推论1相关的一个是、，因此，可增加条件“”。

点悟：解这类开放性试题，要求我们在深刻理解不等式的性质的同时，一定要注意它们成立的条件。

例2. 若，则下列命题中正确的命题是（）

A. 均不能成立

B. 均不能成立

C. 不等式均不能成立

D. 不等式均不能成立

剖析：本小题主要考查不等式的基本性质、敏锐的判断力、灵活运用知识解决问题的能力。

答案：B

解析：。

又不成立。

。

，故不成立。

由此可选B。另外，A中成立，C与D中成立，证明如下：

，

。

。故。故选B。

点悟：解决该题，除利用不等式的基本性质正面推导外，还可利用举例验证排除错误答案。

例3. 如果，则下列各式正确的是（）

A. B.

C.

D.

剖析：本题是在条件“”的情况下，利用不等式的性质，判断出成立的一个不等

式。

答案：D

解析：对于A，当时，，当时，不成立，故应排除A；

对于B，不成立，故应排除B；

对于C，，又由可知，但是的符号是不确定的，因此不成立，故应排除C；

对于D，由指数函数的性质可知，，又，

成立，故选D。

点悟：本题综合利用了不等式的基本性质、对数函数的值域、指数函数的性质以及“作差法”。

例4. 已知，分别求、、的范围。

剖析：本小题考查利用不等式的性质，求数（式）的取值范围。

解析：。

又，。

。

又。

。

（1）当时，；

（2）当时，。

综合（1）（2）得。

点悟：要准确运用不等式的性质，如：同向不等式不能相减，同向不等式只有当它的两边都是正数时才能相乘。

【易错题剖析】

易错题一：设，求的最大值和最小值。

解题思路：解法一：，。

设，即

比较两边系数：

。

又，

解法二：

以下同解法一。

失分警示：误区：对同向不等式可加性推论：，前后关系不是充

要条件的关系认知不到位，错因由求出的值域取代由原条件求出的值域。

易错题二：已知，求的取值范围。

解题思路：令，则。而，

故有。

失分警示：不能由，这是因为不可能同时取

到或，故结论错误。

同向不等式可以作加法运算，导向不等式可以作减法运算（不等号与被减不等式同向），当同向不等式两边为正时，可以作乘法运算，但如果涉及到“等号能否取到”，则要看是否满足取等号条件。这一点常易疏漏，请特别注意。

（二）均值不等式及其应用

【考点梳理】

考点一：两个重要不等式

利用不等式的性质，可以推出下列重要不等式：

1. 如果，那么（当且仅当时取等号）。

2. 如果________，那么（当且仅当时取等号）。

称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。

考点二：灵活变式

1. ；

2. ；

3. ；

4. ；

5.

当且仅当时，各式中等号成立。

考点三：两个重要结论

1. ，且（定值），那么当时，有最______值。

2. ，且（定值）那么当时，有最_____值。

【方法技巧】

方法一：均值不等式的配凑技巧

例：设，，则M、N的最准确的大小关系是（）

A. B.

C. D.

答案：C

解析：因为

注意到，且（定值），

知。

取“=”的条件是，即或，但这是不可能的。故。

又因为，

注意到，（定值），知，当

等号成立时，即，故。，故选C。

方法二：用函数的观点解决不等式问题

例：已知，试比较与的大小。

解析：，