必修5教案3.1不等关系和不等式

3.1不等关系和不等式

（一）教学目标

1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。

2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

（二）教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

（三）教学设想

[创设问题情境]

问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛

⎫-⨯ ⎪⎝⎭

万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛

⎫-⨯ ⎪⎝

⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..

根据题意，应有如下的不等关系：

（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；

（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；

（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

由以上不等关系，可得不等式组：

5006004000300

x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。

[知识拓展]

设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否

也有类似的性质呢？

从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：

（1）,a b b c a c >>⇒>

（2）a b a c b c >⇒+>+

（3）,0a b c ac bc >>⇒>

（4）,0a b c ac bc ><⇒<

证明：

(1) ,0,0

()()0 0a b b c a b b c a b b c a c a c

>>⇒->->⇒-++>⇒->⇒>

(2)()()0a b b c a b a b b c +-+=->⇒+>+

(3),00,0

()0a b c a b c a b c ac bc ac bc

>>⇒->>⇒-=->⇒>

例1讲解（第82页）

[练习]：第82页，第3题。

[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：

(1),(2)0,0(3)0,,1n n a b c d a c b d

a b c d ac bd

a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>

[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

[作业]：习题3.1（第83页）：（A 组）4、5；（B 组）2.