必修5教案3.1不等关系和不等式
2020年高二人教A版必修5系列教案：3.1不等关系与不等式3
3.1不等关系和不等式（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案
高三数学必修五《不等关系与不等式》教案教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系4任意两个实数具有怎样的关系用逻辑用语怎样表达这个关系活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC| 实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，--b 应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2 ;a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)] =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2] ∴a4-b4 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y ∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的证明二【基础训练】1.若，，则下列不等始终正确的是()2.设a，b为实数，且，则的最小值是()4.求证：对任何式数x，y，z，下述三个不等式不可能同时成立。
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案
高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。
三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。
四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。
五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。
六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。
2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。
而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。
- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。
- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。
（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。
高中数学 3.1不等关系与不等式教学设计 新人教A版必修5
3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）教材分析三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.掌握不等式的基本性质.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教学建议建议安排两课时，第一课时让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.第二课时的学习，让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.导入新课一师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)导入新课二北京奥运这是一届创造奇迹、超越梦想的奥运会。
必修五-3.1不等式与不等关系教案
§不等式与不等关系【教学目标】1 .知识与技能：通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式〔组〕的实际背景,掌握不等式的根本性质；2 .过程与方法：通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法：3 .情态与价值：通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯.【教学重点】用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题.理解不等式〔组〕对于刻画不等关系的意义和价值.【教学难点】用不等式〔组〕正确表示出不等关系.【教学过程】L课题导入在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下而我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.2.讲授新课1〕用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行装时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是：v<40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于％,蛋白质的含量p应不少于％,写成不等式组就是一一用不等式组来表示f < 2.5%'p> 2.3%问题1：设点A与平面夕的距离为d,B为平面.上的任意一点,那么问题2：某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,假设单价每提升元,销售量就可能相应减少2000本.假设把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢r-2 5解：设杂志社的定价为X元,那么销售的总收入为〔8-一^二x0.2〕x万元,那么不等关系“销售的总收入0.1仍不低于20万元〞可以表示为不等式r-2 5〔8--^^x0.2〕x>20〔问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.根据生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍1怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢解：假设截得500 mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系：〔1〕截得两种钢管的总长度不超过4000mm;〔2〕截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍：〔3〕截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示：500x +600y <4000;3x >〕,；x>0;>• > 0.3 .随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2、课本P74的练习1、24 .课时小结用不等式〔组〕表示实际问题的不等关系,并用不等式〔组〕研究含有不等关系的问题.5 .作业课本P75习题［A组］第4、5题〔第2课时〕【教学目标】1 .知识与技能：掌握不等式的根本性质,会用不等式的性质证实简单的不等式：2 .过程与方法：通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法:3 .情态与价值：通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理水平.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证实简单的不等式：>【教学难点】利用不等式的性质证实简单的不等式.【教学过程】L课题导入在初中,我们已经学习过不等式的一些根本性质.请同学们回忆初中不等式的的根本性质.〔1〕不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变：即假设= 4土〔2〕不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变：即假设 a > b,c > 0 = ac > be〔3〕不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.即假设 a > Ac v 0 = ac < be2.讲授新课1、不等式的根本性质：师：同学们能证实以上的不等式的根本性质吗证实：1 ) :(a + c) — (b + c)=a —b>0,/. a + c>b + c2 ) (a + c) - (b + c) = a - b > 0 f a + c>b + c.实际上,我们还有a>Z?,Z?>c = a>c,(证实：:aAb, b>c,a -b>0, b-c>0.根据两个正数的和仍是正数,得(a -b) + (b -c)>0, 即 a —c>0>a>c.于是,我们就得到了不等式的根本性质：(1) a>b.b>c=>a >c(2) a>b^>a+c>b + c(3) a > b,c > 0 = ac > be(4) a > h.c <0=> ac < bei2、探索研究思考,利用上述不等式的性质,证实不等式的以下性质：(1) a > b,c > d = a + c > b + d ；(2 ) a > b > O.c > d > 0 => ac > bd ；(3) a>b>O,ne Nji >\=>a n >b n\>Ja > >/b o证实：1) ; a>b.「・ a + c>b+c. (T) .c>d,b + c>b+d. (2)由①、②得 a + c>b + d.a > b,c >0=> ac> be2) => ac > bdc > d,b > 0 = be > bd3)反证法)假设出?扬,那么：假设正(干="<"这都与矛盾,yja = y/b => a = h［范例讲解］: /例1、.>〃>0,右〈0,求证 c c —>—O a b证实：以为4>.>0,所以ab>0,」->.. ab下白 1 f 1 nn 1 1「/if ci x —> bx — , L|-— > 一ab ab h a由c<0 ,得一 > 一 a b3) 随堂练习1课本P74的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号：.(1)(6 + VI) 2 6+2收(2)(V3-V2 ) 2 ( V6 -1) 2：(3) , -J—.V5-2 ---------------- V6-V5 ,⑷当a>b>0 时,log j a log)b5 2答案：⑴V(2) < (3) < (4) <［补充例题】例2、比拟(a + 3) (a—5 )与(a + 2) (a—4)的大小.)分析：此题属于两代数式比拟大小,实际上是比拟它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要).根据实数运算的符号法那么来得出两个代数式的大小.比拟两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：(a + 3) (a— 5 ) — (a + 2) (a—4)=(a2—2a —1 5 ) — (a2—2a— 8 )=-7 <0(a + 3) (a— 5 ) < (a + 2) (a—4)随堂练习21、比拟大小：(1) (x+ 5 ) (x+7 )与(x+ 6 ) 2(2) /+5x + 6与2/+5x + 94 .课时小结本行课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证实了一些简单的不等式,还研究了如何比拟两个实数(代数式〕的大小一一作差法,其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式:第二步：判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论：第三步：得出结论5 .作业课本P75习题［A组］第2、3题；［B组］第1题。
3.1《不等式与不等关系》教案(新人教版A必修5)(2课时)完美版
第三章不等式课题: §3.1 不等式与不等关系第1 课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
【教学重点】用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【教学难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：v 40引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示f 2.5%p 2.3%问题1：设点A与平面的距离为d,B 为平面上的任意一点，则d |AB |。
问题2：某种杂志原以每本2.5 元的价格销售，可以售出8 万本。
据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000 本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢？x 2.5解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为（8 0.2）x 万元，那么不等关系“销0.1售的总收入仍不低于20 万元”可以表示为不等式4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。
高中数学必修五不等关系与不等式教案
第三章不等式必修5 3.1 不等关系与不等式一、教学目标1.通过具体问题情境, 让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下, 学习不等式的相关内容；3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点:用不等式（组）表示实际问题中的不等关系, 并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点:使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程:（一）导入课题现实世界和生活中, 既有相等关系, 又存在着大量的不等关系我们知道, 两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 等等.人们还经常用长与短, 高与矮, 轻与重, 大与小, 不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中, 我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？ (大于、等于、小于)..2.现实生活中, 人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点:1.不等式的定义: 用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式a b的含义.不等式应读作“大于或者等于”, 其含义是指“或者> , 或者= ”, 等价于“不小于, 即若> 或= 之中有一个正确, 则正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果是正数, 则；如果等于零, 则；如果是负数, 则.反之也成立, 就是（>0 > ；=0 = ；<0 < ）. （2）比较两个实数与的大小, 需归结为判断它们的差的符号, 至于差的值是什么, 无关紧要.（二）基础练习1.用不等式表示下面的不等关系:（1）a与b的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；解: （1）；（2）.2.有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用和分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解: 由题意知43481158451111a a ⇒<<⇒<<. 3.比较（a +3）（a -5）与（a +2）（a -4）的大小.解: （ +3）（ -5）-（ +2）（ -4）=（ 7<0,∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）.（三）提升训练1.比较 与 的大小, 其中 R.解：()2222223333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 0>，233x x ∴+>.方法总结: 两个实数比较大小, 通常用作差法来进行, 其一般步骤是:第一步: 作差；第二步: 变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步: 定号.最后得出结论..2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元, 钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为 , , 则 , 应满足关系式3.一个盒中红、白、黑三种球分别有 个、 个、 个, 黑球个数至少是白球个数的一半, 至多是红球的 , 白球与黑球的个数之和至少为55, 使用不等式将题中的不等关系表示出来（ N*）. 解：,3255.x y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩（四）课后巩固练习题：1,2.. 习题3..A 组：1,2.。
人教A版必修5系列精品教案：3.1不等关系与不等式4
3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。
2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。
3．了解不等式或不等式组的实际背景。
4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。
【重点难点】重点:１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。
２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。
难点:1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。
【方法手段】1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。
3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。
【教学过程】【教学反思】(【设计说明】)本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。
设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。
【交流评析】一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。
三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。
四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。
姓名：李春霞学校：四十七中联系方式26918825--5219时间2007-11月。
高二数学人教A版必修5教学教案3-1不等关系与不等式含解析
3.1不等关系与不等式（1）一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图引入新知归纳抽象形成概念一、提出问题不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．提出问题，激发学生学习的兴趣。
通过生活与数学知识的结合发现问题。
二、知识探究：问题1：右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .问题2：中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v1 )不小于第一宇宙速度(记作v),且小于第二宇宙速度(记v2).问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？问题1.0<v≤40问题2. v1≤v<v2问题3.⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2pf让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。
高中数学新人教A版必修5教案3.1不等关系与不等式(1)
3.1 不等关系与不等式（1）教课目的：1．知识与技术：经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批不等关系，理解不等式（组）的实质背景，掌握不等式的基天性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：经过解决详细问题，学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的方法．3．感情、态度与价值观：经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯．重点：理解不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教课过程：一、不等关系在现实世界和平时生活中，既有相等关系，又存在着大批的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超出或许多于等来描绘某种客观事物在数目上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下边我们第一来看如何利用不等式来表示不等关系．问题 1：设点 A 与平面的距离为 d，B 为平面上的随意一点，则d≤AB．问题 2：某种杂志原以每本 2.5 元的价钱销售，能够售出8 万本．依据市场检查，若单价每提高 0.1 元，销售量便可能相应减少2000 本．若把抬价后杂志的订价设为x 元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元？剖析：若杂志的订价为x 元，则销售的总收入为x 2.5x 万元．那么不等关系“销80.20.1售的总收入不低于20 万元”能够表示为不等式8x 2.50.2 x ≥20 0.1问题 3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成 500mm和 600mm两种，依照生产的要求，600mm钢管的数目不可以超出500mm钢管的 3 倍．如何写出知足上述全部不等关系的不等式呢？剖析：假定截得500mm的钢管 x 根，截得 600mm的钢管 y 根..依据题意，应有以下的不等关系：（ 1）解得两种钢管的总长度不可以超出4000mm；（ 2）截得 600mm钢管的数目不可以超出500mm钢管数目的 3 倍；（ 3）解得两钟钢管的数目都不可以为负．500 x 600 y 40003x y由以上不等关系，可得不等式组：x0y 0二、数运算性质与大小次序之间的关系a b0ab ；a b0ab ；a b0ab ．三、不等式的性质定理 1：（对称性）假如 a>b，那么 b<a；假如 b<a，那么 a>b；即a>b b<a．证明：说明：把不等式的左侧和右侧互换，所得不等式与原不等式异向．定理 2：（传达性）假如 a>b，b>c，那么 a>c．即 a>b ，b>c a>c．证明：说明：由定理1，可知定理 2 还能够表示为：c b, b a c a ．定理 3：（加法保序性）若 a>b，则 a+c>b+c，即 a>b a+c>b+c．证明：推论1：（移项法例）不等式中任何一项的符号变为相反的符号后，能够把它从一边移到另一边．推论 2：（加法法例） a>b， c>d a+c>b+d．证明：推行：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向．定理 4：（乘法保序性）若 a>b， c>0，则 ac>bc ；若 a>b， c<0，则 ac<bc．即a>b， c>0ac>bc ； a>b， c<0ac<bd．证明：推论 1：（乘法法例）a>b>0， c>d>0ac>bc ．证明：推行：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．推论 2：（乘方法例）a>b>0nb n(n N, 且 n>1) a定理 5：（开方法例）若a b0,则n a n b ( n N , 且 n1)．即a b 0n a n b.证明：练习：课本： P74．小结： 1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依照．2．在运用不等式的性质时，必定要严格掌握它们建立的条件．四、应用举例例 1．已知 a b, cd ，求证 a cbd ．证明：例 2．已知 ab0, c 0 ，求证：cc ．ad证明：例 3．已知ac 0 ，求证 ab c c 0 ．b d a d证明：a c 0,bd ． 1 b 1d， 0a bcdb daca cac故ac 0 ．a bcd例4．设8a20,12 b 36 ，求 ab,a 2b, a的取值范围．b解：由8 a 2020 a b56 ；12 b 3612 b 3672 2b 24，且 8a 12 ，64 a 2b4 ．8a 20 2a 5 ．由 11 136 b129b3例 5．设 f (x) ax 2 bx ， 1 f ( 1) 2 且 2 f (1) 4 ．求 f (2) 的取值范围．解： Q f (1) a b, f (1) a b,f (2)4a 2b ．设 f ( 2) mf ( 1) nf (1) ，即 4a2b m(a b) n(ab)(m n)a ( n m)b ．4 m nm 1f (2)f ( 1) 3 f (1)．2 n mn ．3由1 f ( 1) 2得， 6 3 f (1) 12 ．5f (2) f ( 1) 3 f (1) 14 ．小结： 1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．依据不等式的性质，同向不等式能够相加，同向且两边均为正数的不等式能够相乘；同向不等式不可以相减和相除，异向不等式的相减或相除应转变继同向不等式后用相加或相乘来进行．3．同号两数的次序关系与其倒数的次序相反．4．用不等式的性质求变量的范围时，是经过同向不等式相加或相乘来达成的， 假如是有等号的还应注意两头可否获得等号．五、讲堂练习：六、作业：七、增补题：1．设 a<b<0，以下命题：①1 1 ；② 11；③ a b ；④ a 2 b 2 中，假命题的个数ab a b a是（ ）(A) 3(B) 2(C) 1(D)0答：选 (C) ．b 2 ， bab2．若 a,b 是随意实数，且a>b ，四个不等式 a21, lg(a b)0,11 中，a22能建立的不等式的个数是（）（ A ）1 （B ）2 （ C ）3（D ）4 答：选（ A ）．。
高中数学人教A版必修5教案-3.1_不等关系与不等式_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
不等式性质
2. 教学重点/难点
不等式性质
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
知识提要
一、不等式性质
3、同向不等式可相加，不可相减
二、不等式证明
比较法(作差法、作商法)、分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程)、反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等
三、不等式解法
1、含绝对值不等式的解法
2、含多个绝对值的不等式：零点区间讨论法
3、高次不等式：数轴标根法
4、分式不等式：整式不等式
5.“a＞0且b＞0”是“”成立的( )
(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件
6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半
时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地
(C)同时到达(D)不能判定。
高中数学必修五教案：3.1不等关系和不等式
3.1不等关系和不等式（一）教学目标1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想[创设问题情境]问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。
高中数学必修五教案：3.1+不等关系与不等式
用不等式表示下列关系：【思路探究】1．本题采用的是作差法比较大小，一般地，涉及两个代数式比较大小，常用将例题中“x>1”改为“x∈R”，试比较(2)若bc－ad≥0，用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的已知a>b>0，c<d<0，e<0.(对应学生用书第52页)【错解】∵12<(对应学生用书第53页)∴1a －b >1a －c ，又1b －c >0， ∴1a －b ＋1b －c >1a －c ， 即1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 10．某球迷协会一行56人从旅馆乘出租车到球场为球队加油，现有A 、B 两个出租车队，A 队比B 队少3辆车．若全部安排乘A 队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．试用不等式表示上述不等关系．【解】 设A 队有出租车x 辆，则B 队有出租车(x ＋3)辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x <56，6x >56，x ＋，x ＋56，x ∈N *. 11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )，现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？ 【解】 分级收购时，粮站支出(ma ＋nb )元， 按平均价格收购时，粮站支出m ＋na ＋b 2元． 因为(ma ＋nb )－m ＋na ＋b2 ＝12(a －b )(m －n )， 又因为b <a ，所以当m >n 时，粮站占便宜；当m ＝n 时，一样；当m <n 时，粮站吃亏.(教师用书独具)设a >0，b >0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a的大比较1816与1618的大小．16取值范围．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
必修五3.1不等式及不等关系教案
§不等式与不等关系【教课目的】1．知识与技术：经过详细情形，感觉在现实世界和平时生活中存在着大批的不等关系，理解不等式（组）的实质背景，掌握不等式的基天性质；2．过程与方法：经过解决详细问题，学会依照详细问题的实质背景剖析问题、解决问题的方法；3．神态与价值：经过解决详细问题，领会数学在生活中的重要作用，培育谨慎的思想习惯。
【教课要点】用不等式（组）表示实质问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
理解不等式（组）关于刻画不等关系的意义和价值。
【教课难点】用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教课过程】1.课题导入在现实世界和平时生活中，既有相等关系，又存在着大批的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还常常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超出或许多于等来描绘某种客观事物在数目上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
下边我们第一来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.解说新课1）用不等式表示不等关系引例 1：限速 40km/h 的路标，指示司机在前面路段行驶时，应使汽车的速度v 不超出 40km/h ，写成不等式就是：v40引例 2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应许多于%，蛋白质的含量p 应许多于 %，写成不等式组就是——用不等式组来表示f 2.5%p 2.3%问题 1：设点 A 与平面的距离为d,B 为平面上的随意一点，则 d | AB |。
问题 2：某种杂志原以每本元的价钱销售，能够售出8 万本。
据市场检查，若单价每提升元，销售量便可能相应减少2000本。
若把抬价后杂志的订价设为x 元，如何用不等式表示销售的总收入仍不低于20 万元呢解：设杂志社的订价为x元，则销售的总收入为(80.2) x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20 万元”能够表示为不等式(80.2) x20问题 3：某钢铁厂要把长度为 4000mm的钢管截成 500mm和 600mm两种。
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3.1不等关系和不等式
（一）教学目标
1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
（二）教学重、难点
重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
（三）教学设想
[创设问题情境]
问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则d ≤AB 。
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
分析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为 2.580.20.1x x -⎛
⎫-⨯ ⎪⎝⎭
万元。
那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式 2.580.20.1x x -⎛
⎫-⨯ ⎪⎝
⎭≥20 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
分析：假设截得500mm 的钢管x 根，截得600mm 的钢管y 根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm ；
（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：
5006004000300
x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ [练习]：第82页，第1、2题。
[知识拓展]
设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。
不等式是否
也有类似的性质呢？
从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：
（1）,a b b c a c >>⇒>
（2）a b a c b c >⇒+>+
（3）,0a b c ac bc >>⇒>
（4）,0a b c ac bc ><⇒<
证明：
(1) ,0,0
()()0 0a b b c a b b c a b b c a c a c
>>⇒->->⇒-++>⇒->⇒>
(2)()()0a b b c a b a b b c +-+=->⇒+>+
(3),00,0
()0a b c a b c a b c ac bc ac bc
>>⇒->>⇒-=->⇒>
例1讲解（第82页）
[练习]：第82页，第3题。
[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：
(1),(2)0,0(3)0,,1n n a b c d a c b d
a b c d ac bd
a b n N n a b >>⇒+>+>>>>⇒>>>∈>⇒>>
[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；
2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
[作业]：习题3.1（第83页）：（A 组）4、5；（B 组）2.。