应用基本不等式求最值

应用基本不等式求最值

一、教学目标

知识与技能：复习并掌握基本不等式的应用条件；

过程与方法：通过例题讲解、变式练习巩固培养学生能灵活利用基本不等式解决有关最值问题能力；

情感态度价值观：通过自主、合作、探究的学习方式激发学生分析、探求的学习热情，强化学生的参与意识，培养学生的推理转换能力，提高学生的数学素养.

二、教学重难点

重点：.要充分注意基本不等式的应用条件：“一正，二定，三相等”； 难点：能灵活利用基本不等式、学会用巧法与通法求解最值问题.

三、教学过程

（一）复习回顾 1. 基本不等式

+2

a b

ab ≥，该不等式成立的前提________________,等号成立的条件_________________.

师：基本不等式

+2

a b

ab ≥，该不等式成立的前提________________,等号成立的条件_________________. 生：基本不等式+2

a b

ab ≥，该不等式成立的前提是0,0a b >>，等号成立的条件是当且仅当a b =. 2.基本不等式的变式

师：基本不等式变式有哪些？

生：())120,0,a b ab a b +≥>>当且仅当a b =时取“=”； ()

()()2

2,4

a b ab a R b R +≤

∈∈当且仅当时a b =取“=”

； ()()2

2

32,a b ab a R b R +≥∈∈当且仅当时a b =取“=”；

()()22

4,2

a b ab a R b R +≤∈∈当且仅当时a b =取“=”

； 师：根据题目的条件与所求的目标我们要学会合理选择这些变式来解决问题。 设计意图：检测学生对基本不等式及其变式的记忆与理解，为下文基本不等式求最值的应用打下基础.

（二）问题情境

问题 根据下列条件求最值 (1)已知5,4x <

则函数1

4245

y x x =-+

-的最大值为_______________. (2)已知()2

f x =

则()f x 的最小值为______________.

(3)设,x y 为正实数，则()14x y x y ⎛⎫

++ ⎪⎝

⎭的最小值为______________. （1）学生1：114245314545y x x x x =-+

=-++≥--

学生2：1142453,4545y x x x x =-+=-++--因为5

,4x <所以()450,

x -->

10,45x ->-所以()1

45()2,45

x x --+-≥-当且仅当1x =时取“=”

，所以1x =时1452,45x x -+≤--故1x =时函数1

4245

y x x =-+

-的最大值为3. 师：应用基本不等式求最值时需注意两数为正同时要学会构造定值.

（2）学生1：()2

4,f x =

=≥所以()f x 的最小值为4.

学生2：()2

4,f x =

=≥=

即

2=取“=”此时无解，令)()43,3,t t y t t t =≥=+

≥易知4

y t t

=+在[)3,+∞上单调增，因此min 13,3

y =

所以()f x 的最小值为13

3.

师：应用基本不等式求最值需注意取等号的条件.

（3）学生1：因为14x y

x y +≥+≥ 所以()148x y x y ⎛⎫++≥= ⎪⎝⎭

所以()14x y x y ⎛⎫

++

⎪⎝

⎭的最小值为8. 师：同学们对学生1的解题思路有何看法.

学生2：学生1解题过程用了两次基本不等式，因此()14x y x y ⎛⎫

++

⎪⎝

⎭的最小值要取

到8，两次基本不等式的等号条件需同时成立即14

x y x y

=⎧⎪

⎨=⎪⎩此时0,0x y ==与题意矛盾。

师：对于此题同学们有其他解法吗？ 生3：()14459,x y

x y x y y x ⎛⎫++=++≥

⎪⎝⎭

当且仅当

42x y y x y x ==即等号成立所以()14x y x y ⎛⎫

++

⎪⎝

⎭的最小值为9. 师：多次使用基本不等式需注意等号成立的条件，当等号条件不成立我们需学会转换解题思路.

设计意图：此3题是学生在平时作业中应用基本不等式求最值最容易出错的题，在问题情境中设计这3题目的是让学生充分注意应用基本不等式求最值的条件“一正，二定，三相等”.

(三) 例题讲解 例1 已知14

0,0,

1,x y x y

>>+=求x y +的最小值. 生1：()14459,x y

x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭

当且仅当43,6x y x y y x ===即等号成立.

师：若将题目变为14

0,0,

2,x y x y

>>+=求x y +的最小值，那么此题如何求解呢？ 生2：()114149

(5),22

2x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当43,3

2x y x y y x ===即等号成立.

师：若将题目变为0,0,2,x y x y >>+=求

14

x y

+的最小值，那么此题如何求解呢？ 生3：

()14114149

(5),22

2x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当4x y y x =3,2x =即 3y =等号成立.

师：你们能总结此类型题目的解题思路吗？