数学物理方程-上

数学物理方法B
理学院 冯国峰
数学物理方法B
1、基本方程的推导及基本概念 2、分离变量法 3、行波法与积分变换法 4、贝塞尔函数 5、勒让德多项式 6、格林函数法
绪论
常微分方程只能描述质点唯一随时 间的变化而发生改变的规律。
含有某未知多元函数的偏导数的方 程称为偏微分方程。
表示物理量在空间或时间中变化规 律的偏微分方程称为数学物理方程。
第1章 典型方程的推导及基本概念
数学物理方程中的三个典型方 程：
弦振动方程
双曲型方程
热传导方程
抛物型方程
拉普拉斯方程 椭圆型方程
第1章 典型方程的推导及基本概念
（1）弦的微小横振动方程 [问题]设有一根理想化的细弦，其横截
面的直径与弦的长度相比非常小，设
其线密度为 ， 长度为l，平衡时沿直
到点 P(x, y, z) 。设这个小区域的表面为闭
曲面 ，体积为V。
设物体G的密度为(x, y, z)
比热容为 c(x, y, z) ，则温度变化为
u(x, y, z,t dt) u(x, y, z,t) u dt t
第1章 典型方程的推导及基本概念
所需热量为
Q1
c[ t2 u dt]dV
t 2
g
令
a2
T
自由横振动方程：
2u a2 2u
t 2
x 2
第1章 典型方程的推导及基本概念
若在振动过程中，还有弦上还受到一个与 振动方向平行的外力，其方向垂直于x轴，
设在t时刻，弦的外力密度为 F (x, t) ，
Fdx
T
2u( ,t)
x 2
dx
gds
2u(x,t) t 2
ds
强迫横振动方程：
Q2
{t2
t1
[ (k u ) (k u ) (k u )]dV}dt x x y y z z
第1章 典型方程的推导及基本概念
如果所考虑的物体内部没有热源，由热量 守恒可得：
绪论
数学物理方程的基本任务： 数学物理方程是以物理学、力学及工
程技术中的具体问题为研究对象的，其基 本任务有以下两个方面： （1）建立描绘某类物理现象的数学模型， 并提供这些问题的求解方法； （2）通过理论分析，研究客观问题变化发 展的一般规律。
绪论
数学物理方程的定解问题：
泛定方程：表达某类物理现象共同规律的 数学表达式——偏微分方程。
线拉紧，除受不随时间而变的张力作 用及弦本身的重力外，不受外力的影 响。研究弦作微小横向振动的规律。
第1章 典型方程的推导及基本概念
模型的分析： 弦是一个力学系统，是一个质点组（是
连续的而非离散的质点组，进一步说它是 一个一维的连续系统），所以它的运动应 符合牛顿运动定律，对它的简化假设如下： 设弦在未受扰动时平衡位置是x轴，两
f
(x,
y, t )
2u t 2
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
自由振动
2u t 2
a 2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
f
(x,
y,
z,t)
强迫振动
第1章 典型方程的推导及基本概念
（二）在固体中的热传导方程 如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热
量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这 种现象就叫做热传导。 由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和 点的位置的不同而变化，因此解决热传导问题的
定解条件：伴随一个完整的物理过程发生 的具体条件，一般包括初始条件与边界条 件。
泛定方程+定解条件=数学物理方程的定解 问题
绪论
数学物理方程的显著特点： （1）它广泛地运用数学诸多领域的成果。自然现
象是复杂的、多样的，数学物理方程中所研究的 问题也是复杂的、多样的，所以要应用不同的数 学工具来解决性质不同的问题。 （2）数学物理方程源于工程实际问题，自然现象 本身所蕴含的内在规律，对人们寻求解决问题的 思路有着重要的启迪。数学物理方程中的许多重 要求解方法，都可以在自然现象中找到它们的来 源。
sin
1
tan 1
u( x, t ) x
sin
2
tan 2
u(x dx,t) x
应用牛顿（Newton）第二定律，得到：
T 2u( ,t) dx gds Biblioteka Baiduu(x,t) ds
x 2
t 2
第1章 典型方程的推导及基本概念
最后的结论： T 2u g 2u
x 2
t 2
进一步假设： 2u
第1章 典型方程的推导及基本概念
受力分析： 水平方向（x轴）：
Fx T1 cos1 T2 cos2 0
竖直方向（u轴）：
Fu T2 sin 2 T1 sin 1 mg T sin 2 T sin 1 gds
第1章 典型方程的推导及基本概念
应用模型假设得到的结论：T T1 T2
t1 t
[t2
t1
c u dV ]dt
t
傅里叶（Fourier）实验定律：
dQ k u dsdt n
k k(x, y, z)称为物体在点x, y, z 的导热系数。
第1章 典型方程的推导及基本概念
通过小区域表面流入小区域的热量为
Q2
[t2 k u ds]dt t1 n
利用高斯（Gauss）公式化为三重积分，
端分别固定在 x 0及x l处，而其上各点
均以该点的横坐标表示。
第1章 典型方程的推导及基本概念
模型的简化：
（1）弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状
是曲线 u u(x,t) 。
（2）弦的振动是微小振动。即
从而
u 2
可以忽略不计。
u x
1
，
x
（3）弦是“柔软”的，整个弦总是可以任 意变形，并无内力抵抗。
实质是求物体内部温度的分布。我们用u(x, y, z,t)
表示物体G内一点 P(x, y, z) 在t时刻的温度，来研
究在热传导过程中，温度函数 u(x, y, z,t) 所满足的 偏微分方程。
第1章 典型方程的推导及基本概念
取包含点 P(x, y, z) 的一个小区域 ，讨论
这个小区域内的热平衡，然后在设法过渡
2u a2 2u f (x,t)
t 2
x 2
f (x,t) F (x,t)
第1章 典型方程的推导及基本概念
一维：
2u t 2
a2
2u x 2
二维：
2u t 2
a
2
2u x 2
2u y 2
三维：
2u a2 2u f (x,t)
t 2
x 2
2u t 2
a
2
2u x 2
2u y 2