空间向量求距离

z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
四、求异面直线的距离
A a M
n

N Bb
uuur r AB n d r
n
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向
量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
y,
z
)x
D
C
Q r uuur r n EF，n

r n

(
1
,

1
uuur EG
uuur22xx24y
0 y2

,1) ,BE (2, 0, 0)
0
F A
3 3 r uuur
E
| n BE| 2 11
B
y
d r
.
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
DD1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AB1C
与平面A1DC1的距离
Z D1
A1
B1
AD n C1 d n
D
A X
C Y B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点
B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
Duu(u4r,0,0)，E(2,u4uu,r0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF
设平面
(2, 2, 0), EG (2, r4, 2), EFG 的一个法向量为 n ( x,
空间向量与距离
西宁市沈那中学 段义善
一、求点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90o , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
设CCnnrrEE,CAAEBBrr(11的1,1,公000)垂, A即线B1的方x(22向,x2y,向4)2,量0y为n4
B
b
na
A
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90o , E 是 AB 的中点, 求异面直线CE 与 AB1 的距离.
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
直线DA1与AC的距离。
z
D1
C1
A1
B1
D A x
C y
B
练习6:如图, ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
z S
B
Ay
xC
D
2
2 22
uuuur ∴ MC (
2
a,
a,
0)
,
uuuur MN

(0,
1
a,
1
a)
,
z
uuur MA (
2 a, 0, 0)
r
2
22
P
r uuuu2r r uuuur
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
r uuuur ∴ n MC
11 .
11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90，
SA AB BC a，AD 2a, 求A到平面SCD的距离。 z
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD ,PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
n2
2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
r uuur
d

|
n BE| r

2
11 .
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
.
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
例:1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
2 ax ay 0 且
2
N D
C
y
r n
uuuur MN

a
y

a
z

0
M
22
解得 2 x y z ,
A
2 ur
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1) uuur r
uuur r ∴ MA 在 n 上的射影长 d
MA n r
a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .

z
(x, y,
0
z
).则
A1
C1 C
z
B1
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A
B
在两直线上各取点C, A,
uuur uuuur CE与 AB1的距离d
CA
|
nr(1,Cu0u,A0ur).|
| nr |

x
23 3
.
E
y
练习5
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面
P
N
D
C
M
A
B
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
P r
则
d=|
uuur PO
|= |
uuur PA
|
cos
APO.
n
∵
uuur PO
⊥
,
r n

,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos

uuur PA,
r n
|.
A O

∴d=|
uuur PA
||cos

uuur PA,
r n
|=
|
uuur PuAur
r n
|