矢量分析与场论基础
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则
除去下标c即可
(2) 利用(1)式的结果即可。
(3)据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
再 算子的矢量性，并据公式
将常矢轮换到 的前面
代入得：
(1)证：
(2)证：
右边第一项的 分量
同理
则
证：
所以
据公式
所以
（梯度的旋度等于零）
同理
1-6.解：
1-7.证：用常矢量 点乘式子两边得
上式左边：
利用矢量恒等式：
因为 为任意常矢量，则
设 为任意常矢量，令 ,代入Stokes定理
上式左边
上面用到：
右边
则得：
因为 是任意的，所以
1-8.证：
据矢量场的散度定理
令 ， 和 为空间区域中两个任意的标量函数
则
上式左边
所以
1-9.函数 在M点的散度从它的定义推出
如图，考虑 的两个端面
左端面位于 ，右端面位于
取曲面外法向为正，两个端面对
=0
说明 相互垂直
1-2.空白
1-3.证明：
说明 相互垂直
1-4.解：
当坐标变量沿坐标轴由 增至 时，相应的线元矢量 为：
=
=
其中弧长
其中
令
则
1-5.解：
(1)据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
其中 、 暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
将上式右端项的常矢轮换到 的前面，使变矢都留在 的后面
向外的通量的净贡献是
同理其余两对面分别是
即
上式除以
并取极限
则矢量 的散度是
其中
第一章矢量分析与场论基础
内容提要
1）正交曲线坐标系：
设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：
在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为
式中 、 、 代表循环量1、2、3， ， ， 称拉梅系数。
三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：
柱坐标与直角坐标
球坐标与柱坐标
球坐标与直角坐标
2）矢量及其运算：
直角坐标中算符 的定义：
拉普拉辛是梯度的散度
在直角坐标系中：
一个矢量的拉普拉辛定义为：
其它坐标也可写成：
柱坐标系中
球坐标系中
3）亥姆霍兹定理：
矢量场 可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和
其中
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究
4） 函数
定义：
性质a）偶函数：
b）取样性：
有机会用到的表达式：
1-1.证明：
=18+6-24
一个标量函数 的梯度为：
梯度给出了一点上函数 随距离变化的最大速率，它指向 增大的方向。
一个矢量 穿过一个曲面 的通量 为
对一个闭合曲面而言， 向外为正。
直角坐标系中 的散度
表示在这一点上每单位体积向外发散的 的通量。
散度定理：
其中 是由 所包围的体积。
斯托克斯定理：
其中 是由 所包围的面积。
直角坐百度文库系中 的旋度
除去下标c即可
(2) 利用(1)式的结果即可。
(3)据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
再 算子的矢量性，并据公式
将常矢轮换到 的前面
代入得：
(1)证：
(2)证：
右边第一项的 分量
同理
则
证：
所以
据公式
所以
（梯度的旋度等于零）
同理
1-6.解：
1-7.证：用常矢量 点乘式子两边得
上式左边：
利用矢量恒等式：
因为 为任意常矢量，则
设 为任意常矢量，令 ,代入Stokes定理
上式左边
上面用到：
右边
则得：
因为 是任意的，所以
1-8.证：
据矢量场的散度定理
令 ， 和 为空间区域中两个任意的标量函数
则
上式左边
所以
1-9.函数 在M点的散度从它的定义推出
如图，考虑 的两个端面
左端面位于 ，右端面位于
取曲面外法向为正，两个端面对
=0
说明 相互垂直
1-2.空白
1-3.证明：
说明 相互垂直
1-4.解：
当坐标变量沿坐标轴由 增至 时，相应的线元矢量 为：
=
=
其中弧长
其中
令
则
1-5.解：
(1)据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有
其中 、 暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式
将上式右端项的常矢轮换到 的前面，使变矢都留在 的后面
向外的通量的净贡献是
同理其余两对面分别是
即
上式除以
并取极限
则矢量 的散度是
其中
第一章矢量分析与场论基础
内容提要
1）正交曲线坐标系：
设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：
在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为
式中 、 、 代表循环量1、2、3， ， ， 称拉梅系数。
三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：
柱坐标与直角坐标
球坐标与柱坐标
球坐标与直角坐标
2）矢量及其运算：
直角坐标中算符 的定义：
拉普拉辛是梯度的散度
在直角坐标系中：
一个矢量的拉普拉辛定义为：
其它坐标也可写成：
柱坐标系中
球坐标系中
3）亥姆霍兹定理：
矢量场 可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和
其中
因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究
4） 函数
定义：
性质a）偶函数：
b）取样性：
有机会用到的表达式：
1-1.证明：
=18+6-24
一个标量函数 的梯度为：
梯度给出了一点上函数 随距离变化的最大速率，它指向 增大的方向。
一个矢量 穿过一个曲面 的通量 为
对一个闭合曲面而言， 向外为正。
直角坐标系中 的散度
表示在这一点上每单位体积向外发散的 的通量。
散度定理：
其中 是由 所包围的体积。
斯托克斯定理：
其中 是由 所包围的面积。
直角坐百度文库系中 的旋度