统计学第五章

第五章 概率及其分布

教 学 目 的

1.理解概率的意义；

2.理解二项分布、正态分布的含义及特征；

3.解决有关测量计分问题。

第一节 概率的一般概念

一、概率的定义

概率:是刻画随机事件发生的可能性的指标。 概率因确定方法不同分为：后验概率和先验概率。 1.后验概率的定义

（1）随机事件A 在n 次试验（观测）中出现m 次，m 与n 的比值为随机事件A 出现的频率，记为

)(1.5)(n

m W A =

【如】：抛一枚硬币10次，正面向上6次，则正面向上的频率为

6

.010

6)(==

A W .

（2）随机事件A 在大量重复试验（观测）中，即n →∞时，其频率稳定在某一常数P (A)上，这一常数就是随机事件A 的概率。记作：

)

(2.5)(n

m

P A ≈

表5.1 抛掷硬币实验中正面朝上的频率

2.先验概率的定义

先验概率是不需试验而事前计算出的。其计算的条件是： （1）试验的所有可能结果是有限的； （2）每一种可能结果出现的可能性是相等的。

若所有可能结果数为n ，随机事件A 包括的可能结果（基本事件）为m ，则事件A 的概率为：

)(3.5)(n

m P A =

【如】：抛一枚硬币，可能结果有两种：正面向上和反面向上。正面向上包括一种结果，则正面向上的概率是：

5.02

1

)(===

n m P A ※：与后验概率的结果是一致的。

【又如】：在一个粉笔盒中装有3支红粉笔，3支黄粉笔，4支白粉笔，从中随机摸取一支粉笔。则：

。

率为：随机摸得的白粉笔的概，

率为：随机摸得的红粉笔的概4.010

4.3.0103)()(==

==B A P P

参看教材63页。 二、概率的性质

1.任何随机事件A 的概率都是在0与1之间的正数0≤P (A)≤1；

2.不可能事件的概率为零，P (V)=0；

3.必然事件的概率为1，P (u)=1。

三、概率的加法和乘法

1.概率的加法

互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事件。 两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。

)(4.5)

()()(B A B A P P P +=+

※：A +B 是一个新事件，或者A ，或者B 。

【如】：前例抽粉笔问题，随机摸得红粉笔或白粉笔的概率为：

7

.04.03.0)()()(=+=+=+B A B A P P P

【例】：教材64页抽题问题。 2.概率的乘法

独立事件：一个事件的发生不影响另一事件的发生，这两个事件为独立事件。 两个独立事件积的概率，就等于两个事件概率的乘积。

)(6.5)

()()(B A B A P P P ⋅=∙

※：A ·B 为新事件，指A 和B 都发生了。或同时发生了。

【如】：在前边抽粉笔问题中，学生甲随机摸取一支粉笔登记后，将粉笔还回盒子中，再由学生乙去摸，问甲乙两学生都摸到红粉笔的概率是多少？

解：两名学生摸到红粉笔的概率各为0.3，所以都摸到红粉笔的概率为：

09.03.03.0)()()(=⨯=⋅=+B A B A P P P

第二节 二项分布

一、二项试验

具备以下三个条件的试验为二项试验： 1.一次试验只有两种可能结果，成功和失败； 2.各次实验相互独立；

3.各次试验中成功的概率相等，失败的概率也相等。 【如】：抛一枚硬币，猜正误题。

注意：讨论教材65页举例：不恰当，对大总体可近似看作二项试验。 二、二项分布函数

二项分布：是一种离散型随机变量的概率分布。用n 次方的二项展开式来表达在n 次二项试验中成功事件出现不同次数的概率分布就叫做二项分布。

用一个学生猜测3道正误题来说明（参看教材65页）。 二项展开式的通式为：

)()!

(!!

8.5)(x

n x x n x x n x q P x n x n q P C P --⋅-=

=

※：x 为成功事件出现的不同次数，要注意组合数的计算。 【如】：

4)!

34(!3!434=-=

C

0的阶乘为1，1的阶乘为1。

【例】：一个学生猜测做4道正误题，问猜对2道题的概率是多少？猜对4道的概率是多少？

375.016

6

)21()21()!24(!2!

42222

2

2

4)2(===

=-q p C P 道题的概率为：猜对

0625.0)2

1

(1)!

44(!4!44404)4(=⨯==

-q p P 道题的概率为：猜对

※：运用公式（5.8）时，要注意p 和q 的值。 三、二项分布图

二项分布图： 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布图

数据来源：教材68页

表5.3 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率分布

特点：

1、p =q 时，对称；

2、n →∞，近似正态分布；

3、q p ≠二项分布为偏态，但np 与nq 中最小者≥5时接近正态分布。 四、二项分布的平均数和标准差

二项分布近似正态分布时[np ，nq 中较小者大于等于5]

)

()(10.59.5npq

np ==σμ

次二项实验所得结果。重复做为总体参数，均为大量与n σμ

【如】：学生们猜测做12道正误题，从理论上讲，他可望猜对：

73

.15.05.0126

2

1

12=⨯⨯==⨯==σ

μ标准差：np

五、二项分布的应用

1.运用于推断分析；

2.计算成功事件出现x 次的概率；

3.确定机遇性与真实性的界限。 ※：分析教材71页举例中的举例。

第三节 正态分布

正态分布:是一种连续型随机变量的概率分布。 一、标准Z 分数

1.标准Z 分数：是以平均数为参照点，以标准差为度量单位的分数。Z 分数是一种位置分数；Z 分数是一种转化分数。

)(11.5x

X

X Z σ-=