概率论基本公式

概率论基本公式标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]

概率论与数理统计基本公式

第一部分 概率论基本公式

1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--

例：证明：

成立。得证。成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-⋃-⋃-==-=-⋃-

-

)).

) 2、对偶率：.-

-

-

-

⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1)

)()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：

(2)

)

()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：

特别，

（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：

)

();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ⋃-===-

-

求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3

.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=⋃-=⋃==-+=⋃=-=-∴===+∴=+-

--B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解：

4、古典概型

2

22

n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22n C n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率

只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率

称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)

()

()|(B P B A A P AB P A B P =

B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：

)|()()(i i A B P A P B P i

∑=全概率公式：

)

|()()

|()()

()

()|(j j j

i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==

贝叶斯公式：

例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少

.

348.0)

()

()|()|()2(.

639.0)(3

1

)()()(.2

1

)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴======

====∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B i

i 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。，号罐球取自设解：6、独立事件

（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A 、B 独立。 (2)伯努利概型

如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生，则称为伯努利试验，即：

P(A)=p,q p A P =-=-

1)( (0

相同条件独立重复n 次，称之为n 重伯努利试验，简称伯努利概型。 伯努利定理：k n k k

n

p p C p n k b --=)1(),;( （k=0,1,2……）

事件A 首次发生概率为：

1)1(--k p p

例：设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。 353

.0)()1(1)

1()(7)2(163

.0)()1()(512

777

37

55

3

5=--=-===-==-=-=-=∑∑∑C P p p C p p C C P C B P p p C B P B k n k i k k

k

i k

k k i k ，代入数据，得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“设，代入数据得：号”，则由题意有：

次独立试验发出指示信“）设解：（

第二章

7、常用离散型分布

（1）两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值，且其分布为：

p x X P p x X P -====1}{;}{21 （0

点分布。

特别地，若X 服从处，0121==x x 参数为p 的两点分布，即：

其中期望E （X ）=p,D(X)=p(1-p)

（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由k n k k

n

p p C k X P -==)-1(}{ （k=0,1,2……）给出，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为：X~b(n,p)

（或B(n ，p)

其中∑===n

k k X P 01}{，当n=1时变为：k k p p X P --==1)1(k}{ （k=0,1）,此

时为0—1分布。

其期望E （X ）=np ，方差D(X)=n(1-p)

（3）泊松分布：若一个随机变量X 概率分布为：

⋯=>==-2,1,00,!

}{k k e

k X P k

，λλλ

则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为：

)(~)((~λπλX P X 或,其中∑∞

===0

1}{k k X P ，λ称为泊松流强度。

泊松定理：在n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n P ,如果

∞→n 时，的常数）0(>→λλn nP ，则对任意给定的k ，

有λλ--∞

→∞

←=

-=e k p p C p n k b k

k

n n k n

k

n

n n !

)

1(),;(lim lim ，这表明，当n 很大时，p 接近

0或1时，有λλ--≈

-e k p p C k

k

n n k n

k n !

)

1(（np =λ）。

其期望方差相等，即：E(X)=D(X)= λ。 8、常用连续型分布

（1）均匀分布：若连续随机变量X 的概率密度为

{

b

x a a b x f <<-=),/(1,0)(其他

则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。其中⎰

+∞

∞

=-1)(dx x f ，分布函

数为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧

≥<≤--<=.,1.),/()(,0)(b x b x a a b a x a x x F