计算傅里叶变换全息

相应的四个衍射分量合成为样点处的频谱的复波前：
F
(
j,
k
)
=
F1
exp(i0)
+
F2
exp(i
π
2
)
+
F3
exp(iπ
)
+
F4
exp(i
3π
2
)
=
FI1n(stjit,ukte)o−f InFfo3r(mja,tikon)
O+piticFs,2
( j,
ISE,
k)−
SDU
i
F4 (
j, k )
6.4.3 成图与再现 Information Optics 1. 成图 2. 再现
A(m, n) = R2 (m, n) + I 2 (m, n) 对A(m,n)归一化
Ψ(m, n) = arctan[ I(m, n) R(m, n)]
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3. 编码
振幅编码：
Information Optics
通光孔径的高度：Lmnδy, Lmn=A(m,n) 通光孔径的宽度： Wδx, W可取常数
因全息图面与物面或像面重合，所以只需按抽样定理对物面抽
样即可：
δx≤ 1 , δy≤ 1 ,
2uB
2vB
抽样点数：
X
δx
Y
δy
=
XY
2uB 2vB
=
XY
2uB 2vB
=
SW
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f
(
j,
k
)
=
a(
j,
k
)
Information Optics
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波前相位分布
InforPmmantδioun Optics
-π
¡
¡
∆φ
• c
• • c c
P177, Fig. 6.3.4 u
¡
-π
(m-1)δu
mδu
(m+1)δu
• 抽样点的位置，单元的中心位置 校正方法是: 用矩孔中心处的
Information Optics
而开孔宽度不可能取得太小，太小时不易成图，且影响光能利 用率和衍射效率。 解决的办法是：将溢出部分移到本单元的另一侧。
P176, Fig. 6.3.3
依据：是光栅衍射理论，因为CGH就是不规则的光栅结构。 各抽样单元内，相应的位置具有相同的相位值。
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开孔可能很宽。这会给CGH的成图带来困难。
为了降低动态范围，可以在作DFT前对物光波函数的样点值乘 以一个随机相位，用它来平滑频谱。这个随机相位因子对于再 现像的观察是不重要的，因为实际应用中观测的常常是再现像 的强度。这种做法与光学全息中在物体前旋转毛玻璃板产生谩 射光线的效应是相同的。
fS (m, n) = a(m, n)exp[ jφ(m, n)],
F (m, n) = DFT [ f ( j, k)]
∑ ∑ =
J 2−1 K 2−1 j=−J 2 k=−K 2
f ( j, k)exp ⎡⎢⎣−i2π
⎛ ⎜⎝
mj J
+
nk K
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
F (m, n) = R(m, n) + iI(m, n) = A(m, n)exp[ jΨ(m, n)]
(
j,
k
)],
if cos[φ( j, k)] ≥ 0 if cos[φ( j, k)] < 0
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⎧a(Injf,okrm)astiinon[φO(ptjic,sk )], if sin[φ( j, k )] ≥ 0
f2( j, k) = ⎩⎨0,
将每一个抽样单元4等分为4个小单元，在其中的2个小单元中 用矩孔的面积或灰度来表示相应的fi(j,k), 其中i=1,2,3,4。
0 π/2 π 3π/2 第（j,k）个单元
P178, Fig. 6.4.1
当用一平面波垂直照射全息图时，从1级衍射来观察，相邻两 个之间的光程差为λ/4、相位差π/2。
被记录的波面是物面上的光场分布或像面上的光场分布， 只需要对物光波函数进行抽样和编码，不需要作DFT计算， 可采用多种编码方法，以四阶迂回相位编码为例。
6.4.1 抽样
物面光场分布或像面光场分布为：
f ( x, y) = A( x, y)exp[ jφ( x, y)], X , Y ; uB , vB; 2uB , 2vB
（2） 相位误差的修正 Information Optics
Pm ,n
=
Ψ(m, n)
2π k
y, m
第（m, n）个单元
孔径处的相位取单元
中心处的相位，这就
隐含了整个抽样单元 nδy
内的相位值是相等的，
没有变化。
δy
这显然是近似的。
Pmnδx Lmnδy
Wδx
δx
x, n
mδx
如果在一个抽样单元内，相位Ψ(u,v)的变化很缓慢，则这个近似 大致是成立的；但实际上单元内的相位总有变化。因此，若不考 虑这一点，就会引入相位误差。
如宽度取δu/2，当 Ψ(m,n) > π/2，取 k=1， 则Pmn>1/4， Pmnδu > δu/4, 就跨入了邻近的第(m+1)个单元，
重叠部分的振幅本该相加，但对绘 图来说（尤其是二值化）不好做到， 会使全息再现失真。
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exp[iφ( j, k)],
⎧−J / 2 ≤ ⎨⎩− K / 2 ≤
j≤J/ k≤K
2−1 /2−1
6.4.2 编码
采用四阶迂回相位编码：
对每一个样点值，可分解为复平面上实轴和虚轴正负方向上
的四个分量：
JJK
JK
JJK
JK
f ( j, k) = f1( j, k)r + + f2( j, k)i+ + f3( j, k)r − + f4( j, k)i−
f
' S
(
m
,
n)
=
fS (m, n)exp[ jϕrand (m, n)],
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Information Optics
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6.4 计算像面全息Information Optics
P179, Fig. 6.4.2
6.4.4 四阶迂回相位编码的一个理论解释
用延迟抽样来解释迂回相位编码
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6.5 计算全息干涉图 Information Optics 6.6 相息图 6.7 应用:
1. 制作复杂空间滤波器 2. 产生特定复杂波面，用于干涉计量 3. 扫描器，分束器，光束阵列产生器，光束整形器，等 4. 三维像再现与显示 6.8 几种物理解释 6.9 二元光学、微光学简介
（3） 降低振幅的动态范Inf围ormation Optics
F (m, n) = R(m, n) + iI(m, n) = A(m, n)exp[ jΨ(m, n)]
频谱的振幅往往具有很大的动态范围，即高频成分A(m,n)很小、 低频成分A(m,n)很大。
这就意味着Lmn具有很大的动态范围，即对应高 频成分的开孔可能很窄，而对应于低频成分的
=
f1( j, k)exp(i0) +
f
2
(
j
,
k
)
exp(
i
π
2
)
+
f3( j, k)exp(iπ ) +
3π
f4 ( j, k)exp(i
) 2
= f1( j, k) − f3( j, k) + i f2( j, k) − i f4( j, k)
其中：
f1
(
j,
k
)
=
⎧a( ⎩⎨0,
j,
k
)
cos[φ
抽样：确定物面和频谱面上的抽样点数。 Institute of Information Optics, ISE, SDU
物面的抽样点数： Information Optics
需要： δ x ≤ 1 , δ y ≤ 1 ,
2uB
2vB
取等号，得物面抽样点数：
J
⋅
K
=
X
δx
Y
δy
=
XY
2uB
2vB
=
SW
6.3 计算傅立叶变In换form全atio息n Optics
制作过程：
物光波 抽样
函数
离散样点 分布
DFT
离散频谱
编码
再现像
再现
CGH
成图 全息图透过率
函数（离散）
编码：以迂回相位编码为例
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1. 抽样
Information Optics
¡ 抽样点处的相位值
实际相位来确定孔径的位置, 即矩孔中心的偏移量要正比
由罗曼法确定的开孔的中心位置 于矩孔中心处的实际相位值。
c 校正后开孔的中心位置
孔径中心位置函数为：
∆φ 校正前后的相位差
u
=
mδ
u
+
δu 2π
mod2π
[Ψ(m,
n)]
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6. 几点讨论 （实In际for制ma作tion时Op需tic注s 意的问题）
（1） 模式溢出的修正
Lm,n = A(m, n),
Pm ,n
=
Ψ(m, n)
2π k
Lm+1,n = A(m + 1, n),
Pm +1, n
=
Ψ(m + 1, n)
2π k
在对相位编码时，若开孔宽度选定后，当Ψ(m,n) 大于某值时， 第m个单元的矩形孔将跨入邻近的第(m+1)个单元，有可能与第 (m+1)个单元中的矩形孔重叠。
物面的抽样点数：
需要： δ u ≤ 1 , δ v ≤ 1 ,
X
Y
取等号，得谱面抽样点数：
M⋅N
=
2uB
δu
2vB
δv
=
XY 2uB 2vB
=
SW
可见：都刚好满足抽样定理时，物面和谱面的抽样点数相等， 都等于空间带宽积
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Im, π/2
f3(j,k)≠0
f2(j,k)≠0
π
Re, 0
f4(j,k)≠0
f1(j,k)≠0
Βιβλιοθήκη Baidu3π/2 Institute of Information Optics, ISE, SDU
对每一个确定的抽样I点nfo来rm说ati，on其Op复tic振s 幅值是一定的，4个分量 中最多只有2个分量为非0值。
if sin[φ( j, k)] < 0
⎧−a( j, k)cos[φ( j, k)], if cos[φ( j, k)] < 0
f3( j, k) = ⎨⎩0,
if cos[φ( j, k)] ≥ 0
f4(
j,
k)
=
⎧−a( ⎨⎩0,
j,
k ) sin[φ (
j,
k )],
if sin[φ( j, k)] < 0 if sin[φ( j, k)] ≥ 0
相位编码： 通光孔径的中心位置：Pmnδx, Pmn=Ψ (m,n)/(2πk)
y, m
第（m, n）个单元
Pmnδx
nδy
Lmnδy
δy
Wδx
δx
mδx
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x, n
4. 成图
Information Optics
P175, Fig. 6.3.1 (a)
f ( x, y) = a( x, y)exp[ jφ( x, y)], X , Y ;
F (u, v) = A(u, v)exp[ jψ (u, v)], uB , vB; 2uB , 2vB
f(x,y) Y
y
F(u,v)
v
x
2vB
+vB u -uB -vB+uB
X (a) 物光波函数
2uB
(b) 物光波的频谱 F(u,v)=FT [f(x,y)]
抽样后：
Information Optics
f ( j, k) = a( j, k)exp[ jφ( j, k)],
⎧−J / 2 ≤ j ≤ J / 2−1
⎨ ⎩
−
K
/
2
≤
k
≤
K
/
2
−
1
F (m, n) = A(m, n)exp[ jψ (m, n)],
⎧−M / 2 ≤ m ≤ M / 2−1 ⎩⎨− N / 2 ≤ n ≤ N / 2 − 1
实时三维像再现与显示的研究及应用——简介
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绘制全息图，缩微照相
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5. 再现
Information Optics
u
•
f
f
x
在特定衍射级次上得到再现像，一般选取±1级。 P175, Fig. 6.3.1 (b)
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2. 计算
Information Optics
DFT, 基于FFT算法。
F (u, v) = FT [ f ( x, y)]
∞∞
= ∫ ∫ f ( x, y)exp[−i2π ( xu + yv)]dxdy −∞ −∞