初中数学总复习专题06 转化与化归--特殊方程、方程组
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专题06 转化与化归----特殊方程、方程组
阅读与思考
特殊方程、方程组通常是指高次方程(组)(次数高于两次)、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.
降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略,而降次与消元的常用方法是: 1、因式分解; 2、换元; 3、平方; 4、巧取倒数;
5、整体叠加、叠乘等.
转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想,而化归的途径是降次与消元,而化归的方向是一元二次方程,这也可以说是“九九归宗”.
例题与求解
【例1】已知方程组⎩⎨
⎧=+=+23
352
2y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ,则1221y x y x +的值是_______ (北京市竞赛题)
解题思路:通过消元,将待求式用同一字母的代数式表示,运用根与系数的关系求值.
【例2】方程组⎩⎨
⎧=+=+23
63yz xz yz xy 的正整数解的组数是( )
A .1组
B .2组
C .3组
D .4组
解题思路:原方程组是三元二次,不易消元降次,不妨从分析常数的特征入手.
【例3】 解下列方程:
(1) 42)113(1132=+-++-x x
x x x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)
12
11
93482232222=+-++-++x x x x x x x x ; (河南省竞赛试题) (3) 1)1998()1999(3
3
=-+-x x ; (山东省竞赛试题) (4) 2
2
2
2
2
2
)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路:注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系,利用换元法求解.
【例4】 解下列方程组:
(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;
612,331y y x y x y x (山东省竞赛试题)
(2) ⎩⎨⎧=++=++;
2454,144)53)(1(2
y x x y x x x (西安市竞赛试题)
(3) ⎩
⎨⎧+-=+-=.23,
232
32232y y y x x x x y (全苏数学奥林匹克试题) 解题思路:观察发现方程组中两个方程的特点和联系,用换元法求解或整体处理.
【例5】 若关于x 的方程x
kx x x x x k 1
122+=---只有一个解(相等的解也算一个).试求k 的值与方程的解.
(江苏省竞赛试题)
【例6】 方程02006322
=+++-y x xy x 的正整数解有多少对?
(江苏省竞赛试题)
解题思路:确定主元,综合利用整除及分解因式等知识进行解题.
能力训练
A 级
1.方程1)1(3)1(222
=+-+
x
x x x 的实数根是_____________. 2.()(
)()
2
2
2
22224367243+-=+-+-+x x
x x x x ,这个方程的解为x =_________________.
3.实数z y x ,,满足⎩
⎨
⎧=+-+-=,0223,362
z xy y x y x 则z
y x +2的值为_______________.(上海市竞赛题) 4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0
,0,0122
2b ax x a x bx bx ax 有实数解,则.________1=++b a
(武汉市选拔赛试题)
5.使得(
)(
)(
)(
)
7823142
2
2
2
+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为( )
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
(“五羊杯”竞赛试题)
6.已知方程组⎩⎨
⎧=-=+1
,22
z xy y x 有实数根,那么它有( )
A .一组解
B .二组解
C .三组解
D .无数组解
(“祖冲之杯”邀请赛试题) 7.设a a 312
=+,b b 312
=+且b a ≠,则代数式
2
21
1b a +的值为( )
A .5
B .7
C .9
D .11
8.已知实数y x ,满足20,92
2=+=++xy y x y x xy ,则2
2
y x +的值为(
)
A .6
B .17
C .1
D .6或17
9.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,
p
y x p xy p y x 有整数解()y x ,,求满足条件的质数p .
(四川省竞赛试题)
10.已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-0
1,022
y x a y x 的两个解为⎩⎨
⎧==,,11y y x x ⎩
⎨⎧==,,22y y x x 且2
1,x x 是两个不等的正数.
(1)求a 的取值范围;
(2)若116832
212
22
1--=-+a a x x x x ,试求a 的值.
(南通市中考试题)
11.已知b a ,是方程012
=--t t 的两个实根,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y a
y
b x x b y
a x
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
12.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,,且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,
6,512
2pq q p p q p 试求这个一元二次方程.
(杭州市中考试题)
B 级
1.方程组⎪⎩⎪
⎨⎧==++++=++4
3251z y x z y x z y x 的解是___________________.