Ch 17.6-7 正规子群与商群,群的同态和同构

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例题
V=<Z6,⊕>,求V 上的同余关系 方法一：确定所有的等价关系，然后判断置换性质
方法二：先找自同态，由同态像确定同余关系
自同态为：fi:Z6→Z6, fi(x)=(ix) mod 6, i=0,1,2,3,4,5 f0 的同态像为{0}, f0 导出的同余关系为全域关系 f1 和f5 的同态像为Z6， f1 导出的同余关系为恒等关 系
从而H⊴G.
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举例
例 设A＝{1,2,3}, f1, f2, …, f6 是A上的双射函数。其中 f1＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2＝{<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3＝{<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4＝{<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5＝{<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6＝{<1,3>,<2,1>,<3,2>}
(2) f(a)=f(b) ⇔ f(a)–1f(b)=e2 ⇔ f(a−1b)=e2 ⇔ a−1b∈kerf ⇔ akerf=bkerf.
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回顾: 商代数性质
设代数系统V, R是V上的同余关系，V 关于R 的商代 数V/R，那么
(1) V/R 保持V 的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收律
17.6 正规子群与商群
正规子群及判定 定义 判别定理 判别法
商群 定义及其实例 性质
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回顾：子群
子群H 就是G 的子代数. 判定定理：H≤G ⇔ ∀a,b∈H, ab−1∈H a生成的子群 <a> = { ak | k∈Z } ， a∈G 中心 C = { a | a∈G, ∀x∈G(ax=xa) } 共轭子群 xHx−1 = { xhx−1 | h∈H }
同态像是映到代数系统的子代数。 f(A) 是V2的子代数。
满同态映射（同态像）保持原代数系统的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定保持
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17.7 群的同态与同构
定义 f 为群G1 到群G2 的同态当且仅当
f:G1→G2, 且∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y).
(4) 如果G1＝G2，则f 称为自同态；若G1＝G2， f是双 射，则f称为自同构。
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自同态与自同构
EndG：G 的自同态的集合 AutG：G 的自同构的集合 InnG：G 的内自同构的集合
fx：G→G, fx (a)=xax−1 关系： EndG 为独异点 AutG 为群 InnG 为AutG 的正规子群 IG = fe ∈ InnG
<B, > 偶 奇 偶偶 奇 奇奇 偶
<C * > * 0o 180o 0o 0o 180o 180o 180o 0o
总结
形式上不同的代数系统，如果彼此同构，那么可抽象 地把它们看作是本质上相同的代数系统，不同的只是 所用的符号不同。
同构的逆仍是一个同构。
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实例分析（续）
例题3 代数系统<Z, •>, Z是整数集， •为普通乘法。 R={<a,b>|a,b∈Z而且a,b的符号相同}， 证明R是Z上的同余关系，并求<Z, •>的同态像。 证 R为等价关系，
证：(1) ⇒(2): gN = Ng ⇒ gNg−1 = N. (2) ⇒(3): gng−1∈gNg−1 = N. (3)⇒(1): ng∈Ng⇒n∈N, g−1∈G⇒g−1ng∈N ⇒ng∈gN, gn∈gN⇒n∈N, g∈G⇒gng−1∈N⇒gn∈Ng.
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判定方法
判定方法 (1) 判定定理 (2) |N| = t, 且N是G 的唯一t 阶子群 (3) 指数为2 的子群
(2) V/R 保持V 的单位元、零元、逆元，即 [e]是商代数的单位元 [θ]是商代数的零元 [a -1]=[a]-1
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回顾：同态、同余关系与商代数
同态映射导出同余关系R
V1 =<A,o1, ...,or >, V2 =<B,o1',...,or '>, f 是V1到V2的同态， ∀a, b∈A, aRb ⇔ f(a)=f(b)
实例: (1) 整数加群<Z,+>的自同态：
fc(x) = cx，c 为给定整数.
(2) 模n 加群<Zn,⊕>的自同态：
fp(x)=(px) mod n, p=0,1,…,n−1.
(3) G1=<Z,+>, G2=<Zn,⊕>, G1 到G2 的满同态
f: Z→Zn, f(x)=x mod n.
说明：将群看成代数系统<G, ◦,-1,e>，则同态 f 满足：
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证明
N是G的t 阶子群，且是唯一的t 阶子群，则N是G的正规子 群.
证明 任取g∈G，则gNg-1≤G。（证明N≈gNg-1 ） 令f: N→gNg-1，f(n)＝gng-1，n∈N 假若f(n1)＝f(n2),则有gn1g-1=gn2g-1， 从而推出 n1＝n2，即f是单射。 任取gng-1∈gNg-1，则有n∈N且f(n)＝gng-1， 所以 f 是满射。从而N≈gNg-1。 由于G只有一个t 阶子群，故gNg-1＝N。 <N,*>是<G,*>的正规子群。
<a,b>,<c,d>∈R，有三种情况： (1) a,c 同号，有<a •c, b •d>∈R (2) a,c 异号，有a •c <0, b •d <0，即 <a•c, b•d>∈R (3) a,b,c,d 都为0，有<a •c，b •d>∈R 故R是Z上的同余关系。
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令G＝{f1,f2,…,f6}，则G关于函数的复合运算构成群。 G的全体子群是：
H1＝{f1}, H2＝{f1,f2},
H3＝{f1,f3},
H4={f1, f4}, H5＝{f1, f5, f6}, H6＝G.
H1, H6是平凡子群，故也是正规子群；
[G:H5]=2, 故H5是正规子集。(H5是唯一的3阶子群)
f2 和f4 的同态像为 {0,2,4},
f2 导出的同余关系为:
f3
{<0,3>, <3,0>, <1,4>, 的同态像为{0,3}
<4,1>,<2,5>,
<5,2>}∪IZ6
f3 导出的同余关系为:
{<0,2>,<2,0>,<4,0>,<0,4>,<2,4>,<4,2>,
<1,3>,<3,1>,<1,5>,<第5三,1编>,<代3数,结5构>,<5,3>}∪IZ6
商代数是原代数的同态像
g:A→A/R, g(a)=[a], ∀a∈A.
同态基本定理
f: A→B 是V1 到V2 的同态，关系R 是 f 导出的V1 上的同 余关系，则V1 关于同余关系R 的商代数同构于V1 在 f 下 的同态像，即
V1 / R ≅ < f (A), o1',o2',...or '>.
(1) H 为G 的正规子群，则G/H 是G 的同态像
(2) 若G’为G 的同态像（f(G)=G’），则G/kerf ≅G’.
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同态性质的证明
证明 (1) kerf ⊴ G1 (2) ∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf
证： (1) 显然kerf 非空. ∀a,b∈kerf, f(ab−1) = f(a)f(b)−1 = e2e2−1=e2 ⇒ ab−1∈kerf kerf 为G1 的子群，下面证明正规性. ∀g∈G1, ∀a∈kerf, f(gag−1) = f(g)f(a)f(g−1)= f(g)f(g−1) = f(e1)=e2
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实例分析
例题1 G1=<R,+>是实数加群， G2=<R-{0},·>是非零 实数关于普通乘法构成的群，令 f: R→R-{0}，f(x)=ex 则 f 是G1到G2的同态映射。
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实例分析（续）
例题2 代数系统<B,>和<C,*>都与 <A, ★>同构。
<A, ★> ★a b aa b bb a
H2, H3 和 H4不是正规子群第。三编 代数结构
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回顾：陪集
G 为群， H ≤G ，在G 上定义等价关系R, a,b∈G，aRb ⇔ ab−1∈H ⇔ a∈Hb
⇔ Ha=Hb ，
且 [a]R = Ha . 划分：a, b∈G, Ha∩Hb=∅ 或 Ha=Hb，∪Ha=G. G/R：{ Ha | a ∈G }
运算的良定义：运算结果与参与运算元素的表示无关。
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商群定义、性质
商群 H ⊴ G, G/H = { Ha | a∈G }
HaHb = Hab
说明：
良定义：Ha=Hx, Hb=Hy ⇒ Hab=Hxy
商群G/H 就是商代数
aRb ⇔ Ha=Hb ⇔ ab−1∈H (等价关系R的定义)
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证明（续）
N是G的子群，且[G:N]=2, 则N是G的正规子群. 证：N≤G, 且[G:N]=2.
则G=NNg, gN, 由于NNg=，则有 Ng=G-N, gN. 同理可证 gN=G-N=Ng, gN. 任取 g∈G, 若g∈N, 则Ng=N=gN;
若gN, 则Ng=G-N=gN。
其中 H≤G, x∈G
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正规子群
正规子群：H≤G,，且∀a∈G，aH=Ha. 记为H⊴G. 例子： (1) 群G的两个平凡子群：G和{e}
a{e}={e}a={a}， aG=Ga=G。
(2) 中心C (3) 交换群的所有子群，循环群的所有子群
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正规子群的判定定理
判定定理： N≤G, 则下述条件等价 (1) N ⊴ G ; (2) ∀g∈G, gNg−1 = N ; (3) ∀g∈G, ∀n∈N, gng−1∈N.
| G/R | =[G: H]
问题：R是否同余关系？商代数？
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回顾: 商代数
如果等价关系R 对于V 中所有运算都具有置换性质， 则称R是V上同余关系，称A中相关的等价类为同余类.
设 V = < A, o1, o2, …, or >. R 为V上的同余关系，V 关 于R的商代数记作 V / R =< A/R, ō1, ō2, ..., ōr> 其中A/R 是A关于同余关系R的商集. 定义运算ōi (i =1,2,…,r) 为 ōi ([a1],[a2 ],...,[aki ]) = [oi (a1,a2 ,...,aki )].
aRb, cRd ⇒ ac R bd (R关于二元运算的置换性)
aRb ⇒ a−1Rb−1 (R关于一元运算的置换性)
性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子
保持群G 的性质：交换性等.
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回顾: 同态映射
f
x1 x2
xki
f(x1) f(x2)
f(xki)
f (A)
oi (x1, x2, …, xki)
oi’ (f(x1), f(x2), …, f(xki))
A
B
f(oi (x1,…, xki ))= oi' (f(x1), f(x2), … , f(xki))
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同态性质
同态的合成仍旧是同态。
若 f: V1→V2, g:V2→V3为同态映射，则 g∘f: V1→V3为同态.
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同态的分类
定义 设 f 是由G1=<A, ★>到G2=<B,*>的一个同态， (1) 如果 f 是从A到B的一个满射，则f称为满同态；G2
是G1的同态像。 (2) 如果 f 是从A到B的一个入射，则f 称为单一同态；
(3) 如果f是从A到B的一个双射，则f称为同构映射， 并称<A, ★>和<B,*>是同构的，记作AB。
f(e1)=e2 ，f(x −1)=f(x)−1.
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同态映射的性质
同态保持元素的性质
f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−1，f 将生成元映到生成元 |f(a)| 整除 |a|，同构条件下|f(a)| = |a|
同态保持子代数的性质
H≤ G1 ⇒ f(H)≤ G2. H⊴G1, f 为满同态⇒ f(H)⊴G2. 同态核的性质： ker f = { x | x∈G, f(x)=e2 }, ker f ={e1} ⇔ f 为单同态. kerf ⊴ G1；∀a,b∈G1, f(a)=f(b) ⇔ akerf = bkerf . 同态基本定理