剪力方程、弯矩方程法
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定义 将剪力和Βιβλιοθήκη Baidu矩沿梁轴线的变化情况
用图形表示出来，这种图形分别称为剪 力图和弯矩图。
作图时，取梁轴方向为横坐标，表 示各截面的位置；纵坐标表示相应位置 上各截面的内力（剪力或弯矩）。通常 把正值画在横坐标的上方，负值画在下 边。
剪力图、弯矩图（续）
基本方法
画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：
1．剪力、弯矩方程法
1)首先要建立Q-x和M-x坐标。一般取梁的左端作为x坐标的原
点，坐标Q和M坐标向上为正。 2)根据截荷情况分段列出Q(x)和M(x)方程。
① 由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分 布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化， 所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
②求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负
3 RA 8 ql
，RB
1 ql 8
利用平衡方程 y 0对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程
以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图a所示。
因在C处分布载荷的集度发生变化，故分AC和CB二段建立 剪力方程和弯矩方程。
AC 段：
Q1 (x)
3 8
ql
qx
(0 x l ) 2
M 1 ( x)
，连接a、c的直线即为该段的剪力图。
CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面
的内力值，例如QB左=-ql/8，连一水平线即为该段剪 力图。
梁AB的剪力图如图b所示。
②M图：AC段内，弯矩方程是x的二次函数，表 明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩： MA=0，MC=ql2/16，分别以a、c标在坐标中。
3 8
qlx
1 2
qx 2
(0 x l ) 2
CB段：
Q2
( x)
1 8
ql
( l x l) 2
M
2
(x)
1 8
ql(l
x)
( l x l) 2
3．绘Q、M图
①Q图：AC段内，剪力方程是x的一次函数，剪力
图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值: QA右
=3ql/8
，Qc左=-ql/8，分别以a、c标在坐标中
由剪力图知在d点处Q=0，该处弯矩取得极值。 令剪力方程Q1(x)=0，解得x=3l/8，求得 M1(3l/8)=9ql2/128.以d点标在坐标中。
据a、d 、c三点绘出该段的弯矩图。
CB段内，弯矩方程是x的一次函数，分别求出 两个端点的弯矩，以c、b标在坐标中，并连成直线。 AB梁的M图如图c所示。
剪力方程、弯矩方程法
绘制剪力图、弯矩图
基础教学部 力学教研室
剪力图、弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力和 弯矩随截面位置不同而变化，而最大剪 力和最大弯矩所在的截面往往是梁的危 险截面。因此，在进行梁的设计时，就 需要知道内力沿梁的变化规律，以便根 据最大剪力和最大弯矩进行梁的强度计 算。
剪力图、弯矩图
练习与作业
设已知图示各梁的载荷P、q、m和尺寸a，
（1） 列出梁的剪力方程和弯矩方程； （2）作剪力图和弯矩图； （3）确定IQImax及IMImax。 a,c,e,g,i作为课堂练习，其余留做作业。
2．微分关系法
剪力、弯矩方程法
剪力、弯矩方程 取梁的一端为坐标原点，若以横坐标x表示横
截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力 和弯矩可以表示x为的函数，即
Q Q(x) M M (x)
上述函数表达式称为梁的剪力方程和 弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可 画出剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程法画图步骤
号），并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中相应位置处。
③分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程函数性 质绘出。 3）最后注明IQImax和IMImax的数值。
例题 简支梁 受力如图a所 示。试写出 梁的剪力方 程和弯矩方 程，并作剪 力图和弯矩 图。
解：（1）求支座反力
由平衡方程 mA 0和 mB 0分别求得
用图形表示出来，这种图形分别称为剪 力图和弯矩图。
作图时，取梁轴方向为横坐标，表 示各截面的位置；纵坐标表示相应位置 上各截面的内力（剪力或弯矩）。通常 把正值画在横坐标的上方，负值画在下 边。
剪力图、弯矩图（续）
基本方法
画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：
1．剪力、弯矩方程法
1)首先要建立Q-x和M-x坐标。一般取梁的左端作为x坐标的原
点，坐标Q和M坐标向上为正。 2)根据截荷情况分段列出Q(x)和M(x)方程。
① 由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分 布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化， 所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
②求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负
3 RA 8 ql
，RB
1 ql 8
利用平衡方程 y 0对所求反力进行校核。
（2）建立剪力方程和弯矩方程
以梁的左端为坐标原点，建立x坐标，如图a所示。
因在C处分布载荷的集度发生变化，故分AC和CB二段建立 剪力方程和弯矩方程。
AC 段：
Q1 (x)
3 8
ql
qx
(0 x l ) 2
M 1 ( x)
，连接a、c的直线即为该段的剪力图。
CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面
的内力值，例如QB左=-ql/8，连一水平线即为该段剪 力图。
梁AB的剪力图如图b所示。
②M图：AC段内，弯矩方程是x的二次函数，表 明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩： MA=0，MC=ql2/16，分别以a、c标在坐标中。
3 8
qlx
1 2
qx 2
(0 x l ) 2
CB段：
Q2
( x)
1 8
ql
( l x l) 2
M
2
(x)
1 8
ql(l
x)
( l x l) 2
3．绘Q、M图
①Q图：AC段内，剪力方程是x的一次函数，剪力
图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值: QA右
=3ql/8
，Qc左=-ql/8，分别以a、c标在坐标中
由剪力图知在d点处Q=0，该处弯矩取得极值。 令剪力方程Q1(x)=0，解得x=3l/8，求得 M1(3l/8)=9ql2/128.以d点标在坐标中。
据a、d 、c三点绘出该段的弯矩图。
CB段内，弯矩方程是x的一次函数，分别求出 两个端点的弯矩，以c、b标在坐标中，并连成直线。 AB梁的M图如图c所示。
剪力方程、弯矩方程法
绘制剪力图、弯矩图
基础教学部 力学教研室
剪力图、弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力和 弯矩随截面位置不同而变化，而最大剪 力和最大弯矩所在的截面往往是梁的危 险截面。因此，在进行梁的设计时，就 需要知道内力沿梁的变化规律，以便根 据最大剪力和最大弯矩进行梁的强度计 算。
剪力图、弯矩图
练习与作业
设已知图示各梁的载荷P、q、m和尺寸a，
（1） 列出梁的剪力方程和弯矩方程； （2）作剪力图和弯矩图； （3）确定IQImax及IMImax。 a,c,e,g,i作为课堂练习，其余留做作业。
2．微分关系法
剪力、弯矩方程法
剪力、弯矩方程 取梁的一端为坐标原点，若以横坐标x表示横
截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力 和弯矩可以表示x为的函数，即
Q Q(x) M M (x)
上述函数表达式称为梁的剪力方程和 弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可 画出剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程法画图步骤
号），并将这些数值标在Q-x、M-x坐标中相应位置处。
③分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程函数性 质绘出。 3）最后注明IQImax和IMImax的数值。
例题 简支梁 受力如图a所 示。试写出 梁的剪力方 程和弯矩方 程，并作剪 力图和弯矩 图。
解：（1）求支座反力
由平衡方程 mA 0和 mB 0分别求得