2010中考数学一轮复习垂径定理在解题中的应用

垂径定理在解题中的应用 山东省东阿县第二中学 李浩明 垂径定理是圆的重要内容，在实际生活中有着广泛的应用. 在各地中考题中对垂径定理的考查频频出现，这类问题常常结合勾股定理来解决，现以中考题为例说明如下： 一、求半径 例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

（A ）5 （B ）7 （C ）

375 （D ）377

析解：由垂径定理可知△AOD 是直角三角形，解决本题关键是根据勾股定理列出方程.

设半径OA=x 米，则OD=CD －OC =7－x （米）.因为OD ⊥AB ,所以AD=

12

AB =5（米）.在Rt △AOD 中，因为222AD OD OA +=，所以2225(7)x x +-=，解这个方程得：377x =.故应选（D ）.

二、求弦长

例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．

析解：要求小孔的直径AB ，关键是根据垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理来解决.如图3，设圆心为O ，连接OA ,过点O 作OC ⊥AB ,交劣弧于D ，C 为垂足，则AC=CB ，OA=OD =11052

⨯=mm ，OC =8－5=3mm ，在Rt △AOC 中，AC =22OA OC -22534=-=，所以AB =2AC =2×4=8(mm). D

C O A B

图3 图1 O

A B C B

A 8mm

图2

三、求弦心距

例3.如图4，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，

则OC 的长等于 ．

析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ，所以由垂径定理可得AC =

118422

AB =⨯=.在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC

3=.

四、求拱高 例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．

析解：由垂径定理可得AD =1116822

AB =⨯=.在Rt △AOC 中，OD

6==,所以CD=OC －OD=10－6=4(m).

五、求角度

例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ．

析解：因为CD ⊥AB ，AB 为直径，所以由垂径定理可知AD AC =，利用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”定理可得：

A 图5

B 图6

∠B =12AOC ∠=160302

⨯︒=︒. 六、探究线段的最小值

例6.如图7，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．

析解：因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，所以需作出弦AB 的弦心距.过点O 作OC ⊥AB , C 为垂足，则AC=1116822

AB =⨯=.在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC

6==.故点P 到圆心O 的最短距离为6cm ．

谢谢大家

图7