现代控制理论第2章答案
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第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
（2） A=1141⎛⎫
⎪⎝⎭
解：第一种方法： 令
0I A λ-=
则
1
1041
λλ--=-- ，即()2
140λ--=。 求解得到13λ=，21λ=- 当13λ=时，特征矢量11121p p p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨
+=⎩，可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
当21λ=-时，特征矢量12222p p p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨
+=-⎩ ，可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1
1
1241
124T -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
33333111111110242244
221
1
110
2422t t
t t t
At
t t t
t t e e
e e e e e e e e e
-----⎡⎤⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎣⎦
第二种方法，即拉氏反变换法：
1141s sI A s --⎡⎤
-=⎢⎥
--⎣⎦
[]
()()1
111
4131s sI A s s s --⎡⎤-=
⎢⎥--+⎣⎦
()()
()()()()
()()11
313141
3131s s s s s s s s s s -⎡
⎤
⎢⎥
-+-+⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥-+-+⎣⎦
1111112314311111131
231s s s s s s s s ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥
=⎢⎥⎛⎫
-+⎢⎥
⎪-+-+⎝⎭⎣⎦
()331133111122
44
1122t t
t t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------⎡⎤
+-⎢⎥⎡⎤=-=⎢
⎥⎣⎦
⎢⎥-+⎢⎥⎣
⎦
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=，21λ=-
31330311
313134444111
1114444t t t t
t t t t e e e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤
+⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂-⎣
⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
33333311111011131322
44
0141114
44422t t
t t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------⎡⎤
+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣
⎦
2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
（3）()22222222t t
t t t
t
t t e e e e t e e
e e --------⎡⎤
--Φ=⎢⎥--⎣⎦ （4）()()()()33331124
12t t t t t t
t t e e e e t e e e e ----⎡⎤
+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
解：（3）因为 ()10001I ⎡⎤
Φ==⎢
⎥⎣⎦
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
()22220
00222421324t t
t t t
t
t t t t e e e e A t e e
e e --------==-⎡⎤-+-+⎡⎤
=Φ==⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦
⎣⎦ （4）因为()10001I ⎡⎤
Φ==⎢
⎥⎣⎦
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ()330
330
1313112244
1341322t t
t t t t t t t t e e e e A t e e e e --=--=⎡⎤-++⎢⎥
⎡⎤=Φ==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
+-+⎢⎥⎣
⎦
2-6 求下列状态空间表达式的解：
010001x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
)(1,0y x =
初始状态()101x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，输入()u t 时单位阶跃函数。
解： 0100A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
10s sI A s -⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦
()21
21111010s s s sI A s s s -⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
()()1
1
101At
t t e L sI A --⎡⎤⎡⎤Φ==-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，()()u t I t =
()()()()()0
0t
x t t x t Bu d τττ=Φ+Φ-⎰
01110011011t t t d ττ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰