二次函数讲义

二次函数学案

二次函数（一）

【知识点1】二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数。

练习：

1

、下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a ，b ，c ？

（1）y=2-3x 2

； （2

）y=x (x-4)； （3）y=

12

x 2-3x-1； （4）y=4x （1-x ）+4x 2

；

2、已知圆的面积是Scm 2，圆的半径是Rcm ，则圆的面积S 与半径R 之间的函数关系式：

3、已知一个矩形的周长是60m ，一边长是x m ，写出这个矩形的面积S （m 2）与这个矩形的一边长x 之间

的函数关系式。 5、若22

()m m

y m m x

-=+是二次函数，求m 的值。

【知识点2】y=ax 2

的图像和性质：用描点法画建立坐标系画出下列二次函数的图象然后研究其性质：

6、已知点A（3，a）在抛物线y=x2上，

（1）求a的值。

（2）点B（3，-a ）在抛物线y=x2上吗？

7、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。

二次函数（二 ）

【知识点】y=ax 2

+c 的图像和性质：用描点法

画下列二次函数的图象然后研究其性质：

【讨论】y=ax 2+c 的图像和x 轴的交点情况：

1、抛物线

232-=x y 的图象可由抛物线23x y =的图象向 平移 个单位得到，

对称轴是 ；它的顶点坐标是 ，当x= 时，函数有最 值为 2、若抛物线y=ax 2

+c 的顶点在y 轴上，且过点（1，3）和（－2，6），求此抛物线的解析式。

4、函数11-=

x y 与21

x y -=在同一直角坐标系中的图象大致为（ ）

x x

6、已知二次函数y ＝（m 2

－1）1

m 2m 2x

－－+m －2，则m ＝ 。

7.．下列判断中正确的是( )．

①a 、b 、c 均为实常数的函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 是二次函数 ②二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 中，三个实常数a 、b 、c 之积不为0 ③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a 、b 、c 三个实常数中必须a ≠0 ④函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ＝0，则此函数必为一次函数 A ．①、②、③、④ B ．②、③ C ．③、④

D ．③

8.若点P(1,a)和Q(-1,b)都在抛物线y= —X 2+1上，则线段PQ 的长是

9.（2009年北京市中考）23. 已知关于x 的一元二次方程2

2410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

1、抛物线2)2(3-=

x y 的图象可由抛物线23

x y =向 平移 个单位得到， 它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；当x= 时，函数有

最 值，是 。图像和,x y 轴的交点坐标为 。

2、把y=3x 2-5的图象向上平移5个单位，再向左平移3个单位得到的函数为_________.

3、已知抛物线1l 和x 轴有且只有一个交点（－3，0），并且1l 过点（－1，8），求1l 的解析式。

【知识点】2()y a x h k =-+的图像和性质：用描点法画下列二次函数的图象然后研究其性质：

1、把23x y

-=的图象向上平移2个单位得抛物线 ，

再向左平移3个单位得抛物线 。 2、把22x y

=的图象向 平移 个单位得抛物线()242-=x y ，

再向 平移 单位得抛物线22(4)5y x =--。

3、抛物线21

(1)52

y x =

+-的开口____，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 和x 轴的交点坐标是 ，和y 轴的交点坐标是 ，当x ＝ 时，y 有最 值＝ ；

当x 时，

y 随x 的增大而减小。

形如

2

()y a x h k =-+的二次函数解析式称作二次函数的顶点式

顶点为 对称轴为 最值为

例：二次函数42++-=2

)1(x y 的图象的开口方向________顶点坐标是________对称轴是_________,

当X______时,Y 随着X 的增大而增大, 当X______时,Y 随着X 的增大而减少，当X=_____时函数有最_____值，最_______值是_________

1．抛物线21(3)4

y x =-的开口方向 ,对称轴是 ，顶点坐标为 ， 在对称轴左侧，即x 时，y 随x 增大而 ；

在对称轴右侧，即x 时，y 随x 增大而 ，当x = 时，y 有最 值为 .

2．抛物线23(2)y x =-+的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，

在对称轴左侧，即x 时，y 随x 增大而 ，在对称轴右侧,即x 时y 随x 增大而 ， 当x = 时，y 有最 值为 .

3．将抛物线213y x =沿x 轴向 平行移动 个单位，可得到抛物线21(5)3

y x =-；

沿x 轴向 平行移动 个单位，可得到抛物线21(5)3

y x =+.

4.抛物线y =2

1(x +3)2

的顶点坐标是______.

5．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数2

12

y x =

的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ） A .y =2

1(x －6)2 B .y =2

1(x +6)2 C .y =－2

1(x －6)2 D .y =－2

1(x +6)2

6．要得到抛物线2)4(3

1-=

x y ，可将抛物线231

x y =( )

A ．向上平移4个单位

B ．向下平移4个单位

C ．向右平移4个单位

D ．向左平移4个单位

7.抛物线y =m (x －5)2经过点（0，3），则抛物线解析式为 .

8.已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的关系式。

3、用配方法把下列函数写成y=a(x -h)2

+k 的形式，画出草图并说明其开口方向、对称轴、顶点

坐标及和坐标轴的交点坐标：

（1）243y x x =-+ 2

1(2)232

y x x =

-+

4、根据配方的原则，将y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2的形式，并说明其开口方向、对称轴、顶

点坐标及和坐标轴的交点坐标：

练习：写出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及和坐标轴的交点坐标：

（1）852+-=x x y (2)x x y 232+= (3)2243y x x =-+

二次函数（六）

【知识点】二次函数y=ax 2

+bx+c （a 0≠）的系数a,b,c 的符号和图像的关系：

1、a 的符号决定开口方向（ ），a 大小决定开口大小（ ）;

2、抛物线与y 轴交点坐标为（ ， ），所以c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置 （①0c >时， ②0c <时， ③0c =时， ）;

3、抛物线的对称轴为 ，所以a,b 的符号决定对称轴的位置

（ a,b 同号时， ，a,b 异号时， ）

4、当1x =时，y = ，当1x =-时，y =

当2x =时，y = ，当2x =-时，y =

5、如果a<0,b>0,c<0,那么二次函数y=x 2

+bx+c 的图象为（ ）

6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A.0ab >，0c > B. 0ab >，0c < C. 0ab <，0c > D. 0ab <，0c <

7、已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0），它们在同一坐标系中的大

致图象是（ ）

8.一个二次函数的图象与抛物线23x y =的形状相同,且顶点为(1,4),

那么这个函数的关系式是_________________________.

9.顶点在原点且以y 轴为对称轴的抛物线过点（2，-4），求此抛物线的解析式；

10.已知二次函数的图像的顶点坐标为（1，-6），且经过点（2，-8）, 求这个二次函数的关系式.

6题图

11.二次函数图象与x 轴有两个交点A （-3，0）、B （1，0），顶点到x 轴的距离是4，

求此二次函数的解析式.

第五讲：二次函数（四）

二次函数（七） 【知识点】用待定系数法求二次函数的解析式 1二次函数的交点式

若抛物线与x 轴有一个或两个交点（x 1，0），（x 2，0）则抛物线可以写为： y=a （x-x 1）（x-x 2），我们把这种形式叫做二次函数的交点式或双根式 求下列格式与x 轴y 轴交点的坐标

(1) 2

12y x x =-- (2)

26y x x =+- (3)

21024y x x =-+

(4)

2820y x x =-- (5) 22350y y +-= (1) 2710y x x =-+

小结我们学过的三种解析式的形式： (1)一般式：y=ax 2

+bx+c(a ≠0)

（2）顶点式：)0()(2

≠+-=a k h x a y

(3)双根式：y=a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，

2、求二次函数解析式 (1)一般式：y=ax 2

+bx+c(a ≠0)

（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y (3)双根式：y=a(x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)，

例1：已知二次函数的图象经过点（1，－1），（－2，5），（0，－5），求二次函数解析式。

例2：已知二次函数的图象的顶点坐标是（-1，2），且过点（2，-3），求二次函数解析式。

例3：已知二次函数的图象经过点（-4，0）（6，0），（2，2），求二次函数解析式。

例4：二次函数的图象过(4，-3)点，且x =3时，二次函数有最大值-1，求此函数的解析式。

例5：已知抛物线与x 轴交点的横坐标为－2，4，且min 9

2

y =-，求二次函数解析式。

例6：已知二次函数22(1)2(1)y x m x m =-++-的图像的顶点在直线 4y =-上，求二次函数解析式。

例7：抛物线图象经过(0，-1)和(3，2)两点，顶点在直线y =3x -3上，开口向下，求该图象的函数解析式。

例8：已知二次函数y =ax 2

+bx +c ，当1x =-时，min 4y =-，且图像在x 轴上截得的线段长为4，求二次函数解

析式。

例9：二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表： （1）

二次函数图象所对应的顶点坐标为 . （2）当4x =时,=y . （3） 二次函数的解析式为 . 例10：已知抛物线经过直线3

32

y x =+与两坐标轴的交点，且过(1，1)，求抛物线的函数解析式。

例11：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A (-3，0)，对称轴为x =1，顶点到x 轴的距离为2，求该图象的函数解

析式。

例12：已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式。

例13：已知：二次函数22-+-=m mx x y

（1） 求证：不论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点

（2） 当该二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m 的值，并写出二次函数的解析式

例14：二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于A 点． ⑴根据图像确定a 、b 、c 的符号，并说明理由；

⑵如果点A 的坐标为（0，－3），∠ABC ＝45°， ∠ACB ＝60°，求这个二次函数的解析式．

例15：、如图，直角梯形OABC 中，O 为坐标原点，OC OA =，点C 的坐标是(08)，，以点B 为顶点的抛

物线2y ax bx c =++经过原点和x 轴上的点A ．求抛物线的解析式。

例16：小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y =－14

x 2

+2x ，其中y (m)是球

的飞行高度，x (m)是球飞出的水平

距离，结果球离球洞的水平距离还有2m. ⑴ 抛物线的顶点坐标；

⑵ 求出球飞行的最大水平距离；

⑶若小明第二次仍从此处击球，使其最大高度不 变，而球刚好进洞，则球飞行的路线满足抛物

线的解析式是什么？

二次函数复习巩固:

1、抛物线 y = - 3x 2 + 5x - 4开口 , y = 4x 2 – 6x + 5 开口 .

2、抛物线y=2

1(x －3)2－1开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .

3、二次函数y =2x 2-4x -3，当x= 时，有最大 值，是 .

4、二次函数y=2x 2-4x-3，当x= 时，有最大 值，是

5、抛物线342-+=x x y 的顶点坐标是

6、抛物线y ＝1422

+--x x 的顶点关于x 轴对称的点的坐标为 . 7、抛物线y ＝（x －1）2＋1的顶点坐标是（ ）

A 、（1，1）

B 、（－1，1）

C 、（1，－1）

D 、（－1，－1）

8、抛物线y ＝（x －2）2

＋3的对称轴是( )

A 、直线x ＝－3

B 、直线x ＝3

C 、直线x ＝－2

D 、直线x ＝2 9、抛物线y ＝(x―1)2＋2的顶点坐标是（ ）

A 、 (―1，―2)

B 、(1，―2)

C 、 (―1，2)

D 、(1，2)

10、抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）

A. 2-=x

B. 2=x

C. 1-=x

D. 1=x

11、二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）

A. 2-

B. 2

C. 1-

D. 1

12、抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）

A. 2-=x

B. 2=x

C. 1-=x

D. 1=x

13、二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）

A. 2-

B. 2

C. 1-

D. 1

14、指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

（1）y = - 2 ( x – 3 )2

– 7 （2）y = - 4（x +2）2

+5

（3）12+=x y （4）2)5(3+=x y 15、已知二次函数①2x y -=；②25

3x y =；③2910

x y -=；④215x y =；

⑤24x y -=；⑥24x y =. （1）其中开口向上的有 ；

（2）开口向下,且开口最大的是 ；

（3）当自变量由小到大变化时，函数值逐渐变大，然后逐渐变小的有 .

16、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

（1）

2

8x

y = （2）

2

3

1x y -= （3）322+=x y

（4）21512--=x y （5）2)2(3-=x y （6）2)3

1(2+-=x y

（7）1)2(2+-=x y （8）2)3(2-+-=x y

（9）142+-=x x y （10）262-+-=x x y （3）91832++=x x y 17、抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ ）

A.（2，－2）

B.（1，－2）

C.（1，－3）

D.（－1，－3）

18、填表：

19、抛物线12+=x y 的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____. 20、抛物线12-=x y 的开口方向是_____，对称轴是______，顶点坐标是_____. 21、抛物线3)1(22+-=x y 的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 22、已知二次函数6822+-=x x y ，通过配方化为k h x a y ++=2)(的形式， 为 ，顶点坐标是 ，对称轴是

23、抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是 ，对称轴是

24、抛物线452+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 25、二次函数3422-+-=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是

二次函数中考真题

（2009年顺义一模）7. 抛物线2241y x x =--的顶点坐标是 A ．( 1, －1) B ．( 1, －2)

C ．(－1, －3)

D ．( 1, －3)

:

（2009年朝阳二模）6．将抛物线32+=x y 向左平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是

A ．42+=x y

B ．22+=x y

C ．3)1(2+-=x y

D ．3)1(2++=x y

（2009年大兴二模）11．抛物线c bx x y ++-=2

0>y ，则x 的取值范围是 .

(第11题图)

（2009年房山二模）23．已知抛物线232y x x n =++， （1）若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标；

（2）当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求n 的取值范围．

（2009年石景山二模）23．如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛

物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ． （1）求点C 的坐标；

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛

物线的解析式．

已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=． （1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与x 轴交于非负整数点，求此抛物线的解析式．

第23题