二次函数复习讲义(整理)

二次函数知识点复习

知识点1.二次函数的定义

1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．

2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数． 练习（1）下列函数中，二次函数的是（ ）

A ．y=ax 2+bx+c

B 。2)1()2)(2(---+=x x x y

C 。x

x y 1

2+= D 。y=x(x —1) 练习（2）如果函数1)3(2

32

++-=+-mx x m y m m

是二次函数，那么m 的值为

知识点2.二次函数的图像及性质

1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。 已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。

（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；

当0

）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其

顶点坐标为（ ， ）。二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：

k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=

练习（３）抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 练习（４）若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－

2b

a

运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－

2

p

m + 练习（５）已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）

（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减

性） 若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0

试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）

练习（７）二次函数542+-=mx x y ，当2-x 时，y 随x 的增大而增大。则当2-=x 时，y 的值是 。 （6）最大（小）值：

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内

当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ； 当a<0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ； ②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。 练习（８）二次函数y=m 2x 2-4x+1有最小值-3,则m 等于( ) A.1 B.-1 C.±1 D.±1

2

练习（９）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1，有最大值0 C ．有最小值－1，有最大值3 D ．有最小值－1，无最大值 练习（10）填表：

开口方向 对称轴

顶点坐标 最值

增减性

2)3(2+-=x y +

4

123

22

--=

x x y

练习（11）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 练习（12）、若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：

X -7 -6 -5 -4 -3 -2

y -27 -13 -3 3 5 3

则当x =1时，y 的值为 （可用多种解法）

特

性

函

数

2、画二次函数的图象：

首先将一般式化为顶点式①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴交点关于对称轴对称的点 ④确定与x 轴的交点或另选一组较简的对称点⑤连线 练习（13）已知二次函数215

222

y x x =+-.画出它的图象

3、抛物线的平移、对称、旋转：首先化二次函数的解析式为顶点式，抓住关键点顶点的变化，顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的形状大小完全相同，只是顶点的位置不同.反之，若几条抛物线的形状大小相同，则二次项系数a 的绝对值相同。抛物线的平移、对称、旋转过程中，a 的值不变。

① 抛物线y=ax 2+bx+C 向上平移n （n ＞0）个单位后的解析式y= ② 抛物线y=ax 2+bx+C 向左平移n （n ＞0）个单位后的解析式y= ③ 抛物线y=ax 2+bx+c 关于X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） ④ 抛物线y=ax 2+bx+c 关于Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）

练习（14）将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）

A.1)1(32---=x y

B. 1)1(32-+-=x y

C.1)1(32+--=x y

D. 1)1(32++-=x y ※二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）