固体物理第四章作业答案

2 2 N a Na
• 考虑自旋后第一布里渊区共有 2N 个状态。由于有N个分子， 每个分子有两个原子，每个原子只有一个价电子，所以共 有2N个电子，这2N个电子正好填满第一布里渊区，因此 这种材料不是导体。
3.由同种原子组成的二维密排结构晶体，原子间距为a，作图画出其 前三个布里渊区图形，并求：(1)每个原子有一个价电子时的费米半 径kF；(2)第一布里渊区的内切圆半径k1；(3)内切圆为费米圆时的电 子浓度1 (即平均每个原子的价电子数)；(4)每个原子有两个价电 子时的费米半径，画出简约区中近自由电子近似的费米面图形。
4.分别求出二维正方晶格简约区中沿M和XZM轴自由电子能量函数
En(k) 能量最低的前四条曲线的表达式，画出其示意图并给出各曲线
的简并度。
5 图3给出某金属表面的扫描隧道显微镜(STM)的观察到结果， 请用它说明布洛赫（Bloch）波的存在及其特点。
解：STM可以探测到电子密度的分布。从图中可以看出，电 子密度分布具有周期性。由布洛赫定理
• 解：周期势场 V x 展开为具有周期性平面波的叠加形式：
V x
Vneikx
i 2n x
Vne a , n 0, 1, 2,
n
n
• Vn 作傅里叶展开
Vn

1 a
a
V
x
i 2 n x
e a dx

1
0
a
a 0
V0
N 1 n0

第四章作业
1. (1)能带论的结论是什么?
(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得 出的?
(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是 微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:
E (k )
2k 2 2m

n0
2k 2

Vn 2
2 (k 2 n)2

r


eik r u k
r

uk r uk r Rl
知

2
u k
r

2
由此可知，电子密度分布具有周期性。
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你 认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准 连续的。

x

na

b



x

na
i 2 n x
b e a dx


2V0 a
cos
n
2 b a
• 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙
Eg 2 V1
Eg
2 V1
2 2V0 a
cos b
a

4V0 a
cos 2b
a
•
第一布里渊区

a
k
a
， k 的个数为：
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子 阱的能带变化。*(如下图)
ECA A
B
EVA
8a a
ECB
EVB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型得到结果：
超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上 图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。
• (2)晶体内部电子运动受到了晶体周期势场的作用，电子作
单电子近似后得出来的。
•
(3)当
k

k

2 a
n
，即
k
的微扰作用使E(k)在

k


n a
n a
时出现能隙，这由于周期性势场 处发生突变，形成 2 |Vn | 的能隙，
能隙中不存在电子。说明电子波在布里渊区边界发生反射
形成驻波，并限制在布里渊区内。
2m 2m a
据此式指出在哪些k状态上能量E(k) 会产生能隙? 并指出能隙 的物理意义。
• 解：(1)能带理论认为电子不再是属于局域的特定原子, 而 是扩展于整个晶体；在k空间中电子能量E(k)是不连续的， E(k)在布里渊区内是准连续的，在布里渊区边界存在能隙； 准连续分布的电子能量E(k)形成能带，能带间可以发生重 叠。
2. 设一维晶体由N个双原子分子构成，如下图所示：
2b
a
• 晶体长度为L=Na，a为相邻分子间的距离。每个分子中两 原子的间距为2b，且a>4b，若势能可表示为如下形式：
N 1
V x V0 x na b x na b n0
• 式中V0是大于零的常数。 a) 若V0很小，请计算第一布里渊区边界上的能隙。 b) 若每个原子只有一个价电子，请判断晶体是否为导体？