函数中的恒成立问题

函数中的恒成立问题

江苏省江安高级中学数学组 执教人:明建军

【教学目标】：

1.了解函数中恒成立问题常见的几种题型。

2.理解并掌握函数恒成立问题的解题策略。

活动一：自主探究

(1) ∀x ∈[]1,2时，01>+ax 恒成立，求a 的取值范围。

(2) ∀x ∈[]1,2时，0123

>+-ax x ，求a 的取值范围。 (3) ∀x ∈[]1,2时，不等式(x-1)2

订正区域：

活动二：恒成立问题解题策略

例1.已知不等式0122

>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 订正区域：

变式.已知不等式0122

>+-ax x 对]2,1[∈a 恒成立，求实数x 的取值范围． 订正区域：

例2．已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围 订正区域：

变式：已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围. 订正区域：

例3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x (a ，b ∈R)，在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值． 订正区域：

活动三：课堂检测：

1.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t 2+2t+1对所有的x ∈[－1,1]]都成立的t 的范围是________.

2.已知,1,0≠>a a x a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，2

1)(<

x f 恒成立，则实数a 的取值范围 ．

3.已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f ,若对一切的)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，则实数a 的取值范围为 ．

活动四课堂小结：

1.恒成立问题常用的解题策略有哪些？

2.常见的恒成立问题有哪些题型，各自如何转化？

1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．

2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

(1)∀x ∈D ，f (x )>C ；

(2)∀x ∈D ，f (x )>g (x )；

(3)∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤C ；

(4)∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤a |x 1－x 2|.

3．不等式恒成立问题的处理方法

(1)转换求函数的最值

①若不等式A f (x )在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B >f (x )max ⇔f (x )的上界小于B .

(2)分离参数法

①将参数与变量分离，即化为g (λ)≥f (x )(或g (λ)≤f (x ))恒成立的形式；

②求f (x )在x ∈D 上的最大(或最小)值；

③解不等式g (λ)≥f (x )max (或g (λ)≤f (x )min )，得λ的取值范围．

(3)转换成函数图象问题

①若不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数y ＝f (x )和图象在函数y ＝g (x )图象上方；

②若不等式f (x )

函数中的恒成立问题

活动一：引入：

(1) ∀x ∈(1,2)时，01>+ax 恒成立，求a 的取值范围。

(2) ∀x ∈(1,2)时，0123>+-ax x ，求a 的取值范围。

(3) ∀x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

活动二：∀x ∈D ，f (x )>C

例1 ：已知不等式0122

>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．

分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。 思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(x

x a +<。 思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．

变式：已知不等式0122

>+-ax x 对]2,1[∈a 恒成立，求实数x 的取值范围．

【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．

活动三：∀x ∈D ，f (x )>g (x )

例2：已知函数12)(2

+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围 解：由12012232

++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足1

2)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)

12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是3

20<

例3：已知函数12)(2+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围 解：

活动四：∀x 1，x 2∈D ，|f (x 1)－f (x 2)|≤C

例4：已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x (a ，b ∈R)，在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值．

【解答】 (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，

根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－2，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，

∴f (x )＝x 3－3x . (2)令f ′(x )＝3x 2－3＝0，即3x 2－3＝0，解得x ＝±1， ↗ ↘ ↗ max min 则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有

|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝4，所以c ≥4，即c 的最小值为4.

活动五：课堂检测：

1.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1, 则满足f(x)≤t 2+2at+1对所有的x ∈[－1,1]及a ∈[－1,1]都成立的t 的范围是________

2.不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为

(,1][4,)-∞-+∞

3.已知,1,0≠>a a x a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，2

1)(<

x f 恒成立，则实数a 的取值范围 ．

4.已知)(x f y =是偶函数，当,0时>x