全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明学案

第2讲不等式的证明

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

考点2 综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．

考点3 分析法

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．

考点4 反证法

证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．

考点5 放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

考点6 柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式

定理1 若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2

＋b 2

)(c 2

＋d 2

)≥(ac ＋bd )2

，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．

2．柯西不等式的向量形式

定理2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，假设为“a ，b ，c 全不为0”．( ) (2)若

x ＋2y

x －y

>1，则x ＋2y >x －y .( ) (3)|a ＋b |＋|a －b |≥|2a |.( )

(4)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．[2018·温州模拟]若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2

C.

a

c 2

＋1>b

c 2＋1

D ．a |c |>b |c | 答案 C

解析 应用排除法．取a ＝1，b ＝－1，排除A ；取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D.显然

1c 2

＋1>0，对不等式a >b 的两边同时乘以1c 2＋1，立得a c 2＋1>b

c 2＋1

成立．故选C.

3．[课本改编]不等式：①x 2＋3>3x ；②a 2＋b 2

≥2(a －b －1)；③b a ＋a b

≥2，其中恒成立的是( )

A ．①③

B ．②③

C ．①②③

D ．①② 答案 D

解析 由①得x 2＋3－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34

>0，所以x 2＋3>3x ；对于②，因为a 2＋b 2

－2(a －b

－1)＝(a －1)2

＋(b ＋1)2

≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab <0时，b a ＋a b －2＝(a －b )

2

ab

<0，

即b a ＋a b

<2.故选D.

4．[2018·南通模拟]若|a －c |<|b |，则下列不等式中正确的是( ) A ．a c －b

C ．|a |>|b |－|c |

D ．|a |<|b |＋|c | 答案 D

解析 |a |－|c |≤|a －c |<|b |，即|a |<|b |＋|c |，故选D.

5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c

的最小值为________．

答案 9

解析 解法一：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1

c

，得

a ＋

b ＋

c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c

c

＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫c b ＋b c

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，等号成立．

解法二：由柯西不等式得：

(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥⎝

⎛⎭

⎪⎫a ·1

a ＋

b ·1b

＋c ·1c 2，

即1a ＋1b ＋1

c

≥9.

6．[2017·全国卷Ⅱ]已知a >0，b >0，a 3＋b 3

＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5

＋b 5

)≥4； (2)a ＋b ≤2.

证明 (1)(a ＋b )(a 5

＋b 5

)＝a 6

＋ab 5

＋a 5

b ＋b 6

＝(a 3

＋b 3)2

－2a 3b 3

＋ab (a 4

＋b 4

) ＝4＋ab (a 2

－b 2)2

≥4.

(2)因为(a ＋b )3

＝a 3

＋3a 2

b ＋3ab 2

＋b 3

＝2＋3ab (a ＋b )