初中数学培优竞赛讲座第25讲--奇数、偶数与奇偶分析

第二十五讲 奇数、偶数与奇偶分析

整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：

1．奇数≠偶数

2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示

3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．

4．设m 、n 是整数，则m 土n ，n m ±的奇偶性相同． 5．设m 是整数，则m 与m ，m n 的奇偶性相同．

奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．

例题

【例1】 三个质数之和为86，那么这三个质数是 ． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．

注： 18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．

1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．

利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．

简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才能一笔画．

【例2】 如果a 、b 、c 是三个任意的整数，那么2

22a c c b b a +++、、（ ）． A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数

(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)

思路点拨 举例验证或从a 、b 、c 的奇偶性说明．

【例3】 (1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l ，a 2，a 3…，a 9．求证：(a l l 一1)( a 2 —2)…(a 9—9)是一个偶数．

(2)在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．

思路点拨 (1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．

【例4】已知n x x x x 、、、、Λ321都是+1或一1，并且01

1433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n Λ，求证：n 是4的倍数．

思路点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．

【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形)．

问：最多可以用这7种图形中的几种图形?

思路点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．

注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．

在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．

一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．

所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．

【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?

思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能．

整数可以分为奇数和偶数两类．

【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?

思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可． 因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=2

1(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数；因此，所求代数和为奇数．

注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2005得到答案．

【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论．

思路点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．

这句话是正确的．下面证明之．

若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —

1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．

若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．

故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的．

注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．

【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．

思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原

先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上． 理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：

第1次翻动全部1993枚，

第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，

第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，

第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．

这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上．

注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果．

【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．

思路点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，

6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．

设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数对应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．

于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个 奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以

11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一

(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．

所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的． 注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．

【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：

(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数? 如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?

(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?

思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．

(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．

注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．

【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？

思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997．

所以，原来的三个数不可能是2、2、2．

注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．

【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 2 4 6 8

第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24

… … 28 26

根据上面的排列规律，则2000应位于( )

A ．第125行，第1列

B ．第125行，第2列

C ．第250行，第1列

D ．第250行，第2列

思路点拨 观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8×250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．

注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招．

【例14】(2000年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则n

m 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．4

3 思路点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =12

5，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )

A ．S 是偶数

B ．S 是奇数

C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同

D ． S 的奇偶性不能确定

思路点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．

依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．

∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，

∴a+b+c+6(n+1)为偶数

∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．

注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．

学力训练

1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是 数．

2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填入“+”号或“一”号，使等式成立?

答： ．

3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．

4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表示“任意奇数”的( )

A ．只有(1)

B ．只有(2)

C ．有(1)和(2)

D ．一个也没有

5．如果a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．

A ．只当c 为奇数时，其值为奇数

B ．只当c 为偶数时，其值为奇数

C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数

D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数

6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．

A ． S 是偶数

B ．S 是奇数

C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同

D ．S 的奇偶性不能确定

(第16届江苏省竞赛题)

7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．

(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?

8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?

9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ． 10．1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是 ．

(全国初中数学联赛试题)

11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有 名选手参加．

12．已知p 、q 、pq+1都是质数，且p 一q>40，那么满足上述条件的最小质数p ＝ ；q ＝ ．

(第15届“希望杯”邀请赛试题)

13．设a ，b 为整数，给出下列4个结论：

(1)若a+5b 是偶数，则a 一3b 是偶数； (2)若a 十5b 是偶数，则a 一3b 是奇数；

(3)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是偶数； (4)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是奇数

其中结论正确的个数是( )．

A ．0个

B ．2个

C ．4个

D ． 1个或3个

14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸) ．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 ( “五羊杯”竞赛题)

15．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a 1，a 2，…a 24，则(a 1一a 2)( a 3一a 4)…(a 23一a 24)为( )．

A ．奇数

B ．偶数

C ．奇数或偶数

D ．质数

16．没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?

17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．

(太原市竞赛题)

18．对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？

( “华杯赛”决赛题) 19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．

(汉城国际数学竞赛题)

参考答案