最新初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式
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第十八讲 乘法公式
乘法公式是在多项式乘法的基础上,将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论,在复杂的数值计算,代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用,在学习乘法公式时,应该做到以下几点:
1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;
2.根据待求式的特点,模仿套用公式;
3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;
4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.
例题
【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是 .(江苏省竞赛题)
(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999,那么(2000一a)2+(1998一a)2= . (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体,由平方和想到完全平方公式及其变形.
注:公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式,通过推导,得到一些新的公式;另一种是从大量的特殊的数量关系入手,并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式.
从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律,而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法. 乘法公式常用的变形有:
(1)ab b a b a 2)(2
22 ,2
)()(2)()(222222b a b a b a b a ab . (2)222222)()(b a b a b a ; (3) ab b a b a 4)()(2
2 ; (4)4
)()(22b a b a ab ,)(2)(2222ac bc ab c b a c b a 【例2】 若x 是不为0的有理数,已知)12)(12(22 x x x x M ,)1)(1(2
2 x x x x N ,则M 与N 的大小是( ) A .M>N B . M 【例3】 计算: (1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1; (天津市竞赛题) (2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452. (江苏省竞赛题) 思路点拨 若按部就班计算,显然较繁.能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征. 【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十 45=2x 十y ,求代数式y x xy 的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ,y 满足不等式y x y x 22122 ,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题) (3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a ,第二次提价的百分率为b ,乙商场:两次提价的百分率都是2 b a (a>0,b>o),丙商场:第一次提价的百分率为b ,第二次提价的百分率为a ,则哪个商场提价最多?说明理由. (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1),(2)两个未知数一个等式或不等式,须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小. 注: 有些问题常常不能直接使用公式,而需要创造条件,使之符合乘法公式的特点,才能使用公式.常见的方法是:分组、结合,拆添项、字母化等. 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论: (1)0)(22 22 b a b ab a ; 揭示式子的非负性,利用非负数及其性质解题. (2)ab b a 22 2 应用于代数式的最值问题. 代数等式的证明有以下两种基本方法: (1) 由繁到简,从一边推向另一边; (2)相向而行,寻找代换的等量. 【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数,且满足222c b a ,又a 为质数. 证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数. 思路点拨 从222c b a 的变形入手;222b c a ,运用质数、奇偶数性质证明. 学力训练 1.观察下列各式: (x 一1)(x+1)=x 2一l ; (x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1; (x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1. 根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= . (武汉市中考题) 2.已知052422 b a b a ,则b a b a = . (杭州市中考题) 3.计算: (1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655: ; (2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ; (3)2199919991999199719991998222 . 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式 . (大原市中考题) 5.已知51 a a ,则2241a a a = . (菏泽市中考题) 6.已知5,3 c b b a ,则代数式ab a b c ac 2的值为( ). A .一15 B .一2 C .一6 D .6 (扬州市中考题) 7.乘积)2000 11)(199911()311)(211(2222 等于( ). A .20001999 B .20002001 C .40001999 D .4000 2001 (重庆市竞赛题) 8.若4,222 y x y x ,则20022002y x 的值是( ). A .4 B .20022 C . 22002 D .42002 9.若01132 x x ,则441x x 的个位数字是( ). A .1 B .3 C . 5 D .7 10.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( ). A .))((22b a b a b a B .2 222)(b ab a b a C .2222)(b ab a b a D .222))(2(b ab a b a b a (陕西省中考题)