最新初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
乘法公式ppt课件
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(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
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知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
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知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
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(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
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知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
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知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式
第十八讲 乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+； （4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】 若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（ ） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定 思绪点拨 运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】 计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注： 有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】 已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨 从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式 ． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成 ；852＝7225可写成 ．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝ ． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝ ．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝ ．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是 ． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲 乘法公式参考答案。
乘法公式课件ppt
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目 录
• 乘法公式概述 • 乘法公式的分类及运算规则 • 乘法公式的应用
01
乘法公式概述
乘法公式的定义
乘法公式的数学定义
乘法公式是指对于任意的整数a、b(a≠0)，都有唯一的乘积 ab和它对应，称为乘法公式。
常用乘法公式
常用的乘法公式包括(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²2ab+b²，a³+b³=a³+3a²b+3ab²+b³等。
小数乘法
总结词
小数乘法是在整数乘法的基础上拓展而来 的，它是指将两个或多个小数相乘得到另 一个小数的运算。
VS
详细描述
小数乘法的运算规则与整数乘法基本相同 ，但需注意小数点的位置。具体来说，小 数乘法是通过移动小数点来进行计算的， 移动的位数取决于因数小数点的位数，即 对于任意两个小数a和b，它们的积为 a×10^n×b，其中n为小数点向右移动的 位数。
03
乘法公式的应用
乘法公式在代数中的应用
求解线性方程
在代数中，乘法公式可以用来求解线性方程。比如，对于方程ax+b=c，可 以使用乘法公式得到x=(c-b)/a。
因式分解
乘法公式也可以用于因式分解。例如，对于多项式f(x)=x^2+x+1，我们可以 使用乘法公式得到f(x)=(x+1/2)^2+3/4。
THANK YOU.
集合乘法
总结词
集合乘法是一种特殊的乘法运算，它是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的运算。
详细描述
集合乘法是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的过程。它的运算规则是将两个集合的元素逐一组 合起来，形成一个新的集合。例如，对于集合A和集合B，它们的积A×B是一个新的集合，包含所有(a, b)对， 其中a属于A且b属于B。
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式
七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或多个数的乘积。
在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌握的知识点。
掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高计算能力。
在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。
乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。
乘法交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。
乘法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。
这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。
比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。
此外，在解决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。
例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各个边长相乘。
在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进行计算。
比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。
此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。
这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。
总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。
掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。
因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。
《乘法公式》 说课稿
《乘法公式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《乘法公式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《乘法公式》是初中数学中的重要内容，它是多项式乘法运算的简便形式，在整式乘法、因式分解、代数式的化简求值等方面有着广泛的应用。
本节课主要介绍了两个乘法公式：平方差公式和完全平方公式。
平方差公式：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²，（a b)²＝ a² 2ab ＋b²教材通过对多项式乘法的计算，引导学生观察、归纳、总结出乘法公式，让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养学生的观察能力、归纳能力和逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前已经学习了多项式的乘法运算，具备了一定的计算能力和基础。
但对于乘法公式的理解和应用可能会存在一定的困难，特别是对于公式的结构特征和灵活运用。
因此，在教学过程中，要注重引导学生观察公式的特点，通过大量的实例练习，帮助学生加深对公式的理解和掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解和掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征。
（2）能够熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算和简便计算。
2、过程与方法目标（1）通过对多项式乘法的计算和观察，培养学生的归纳、总结能力。
（2）通过乘法公式的应用，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在数学活动中获得成功的体验，增强学习数学的信心。
（2）培养学生敢于挑战、勇于探索的精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）平方差公式和完全平方公式的结构特征和推导过程。
（2）乘法公式的正确应用。
2、教学难点（1）乘法公式的灵活运用。
（2）对乘法公式中字母含义的广泛理解。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
人教版七年级暑假班七年级同步第18讲：分式的乘除-教师版
本节教材是初中数学的重要内容之一．一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的之后，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础．因此，本节课起着承前启后的作用．一、分式的乘除：1.分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2.分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．【例1】计算：（1）2234a ba⋅；（2）223y xx y⋅．【难度】★【答案】（1）ab61；（2）y32．【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．分式的乘除知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的乘法例题解析【例2】 计算：()()2332339y x x x y +-⋅-． 【难度】★【答案】()yx y x 362332+=+． 【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．【例3】 计算：（1）323⎛⎫⎪⎝⎭；（2）222x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）278；（2）244x y ．【解析】考察分式乘方的法则．【例4】 计算：422ab a b ⎛⎫⎪⎝⎭．【难度】★【答案】44ab ．【解析】442424=ab b b a b a a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例5】 计算：242212x x x x -+⋅+-． 【难度】★★ 【答案】42--x ．【解析】()()()22221422=241212x x x x x x x x x x+-+-+⋅⋅=--+-+-． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例6】 计算：224422x xy y xx y x y-+⋅+-．【难度】★★ 【答案】yx xyx 222+-．【解析】()()222222442222222x y x x y x xy y x xx xy x y x y x y x y x y x y---+-⋅=⋅==+-+-++．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例7】 计算：2422368()(4x xx y y x y⋅-⋅． 【难度】★★ 【答案】236yx -．【解析】242422222368368()()3644x x x y x xx y x y y x y y x y⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例8】 计算：32422329yz xz x x y yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★★【答案】3432x z y -．【解析】324236224343244323481298812yz xz x y z x z x x z x y yz x y y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例9】 计算：当99a =时，()221121614a a a-⋅-+的值是多少？【难度】★★★【答案】10750【解析】∵()()()()()()221111112161428128a a a a a a a a a +-⋅=+-⋅=-++-+，∴当99a =时，原式=()107508992199=+⨯+．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．一、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．【例10】 计算：（1）25103m m n n -⎛⎫÷⎪⎝⎭；（2）2236102y y x x÷；（3）2222()()64y y x x÷-．【难度】★ 【答案】（1）m 23-；（2）y x 10；（3）2294yx ．【解析】主要考察分式的除法法则的运用．【例11】 计算：（1）211231x x x x x ++÷+--；（2）222222242a b a b a ab b ab a b--÷-+-； （3）221()1+1x x x -÷+． 【难度】★【答案】（1）31+x ；（2）(2)()ab a b b a +-；（3）142-x ．【解析】（1）()()2111112313113x x x x x x x x x x x +++-÷=⋅=+--+-++；（2）()()()()2222222242222(2)()ab b a a b a b a b aba ab b ab a b a b a b a b b a a b ----÷=⋅=-+-+-+--； （3）()()()222214144()1+111111x x x x x x x x x -+÷=⋅==+-+--+． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．模块二：分式的除法知识精讲例题解析【例12】 代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A 、1x ≠B 、10x x ≠≠且C 、21x x ≠-≠且D 、20x x ≠-≠且【难度】★ 【答案】B【解析】考察分式有意义的条件分母不为0．【例13】 计算：34222a ab a b c ac ⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】()()47b a b a ca -+-．【解析】()()()()()34332224474443a ab a ab a b ac a cc ac c a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+-÷=-⋅=- ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例14】 计算：22222662x x x x x x x x --+-÷--+-．【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++--+-．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例15】 计算：222221211(()22x x x x x x x x --+÷÷---+． 【难度】★★ 【答案】xx -22．【解析】原式()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例16】 求值：已知6,2a b ab +==-，求代数式()()224466a b a b a b ab+-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()()()6612222b a ab b a b a ab b a b a b a +=-⋅+⋅+-+=已知62a b ab +==-，，∴原式=2662-=⨯-． 【总结】本题一方面考查分式的除法的运算，另一方面考查整体代入思想的运用．一、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．模块三：分式的乘除混合运算知识精讲【例17】 桶中装有液状纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为（ ）升． A 、32aB 、4(8)a a -C 、24(8)a a - D 、48a - 【难度】★ 【答案】B【解析】这4升混合药液中的含药量百分比为aa 8-． 【总结】本题主要考查了学生对含药量的理解．【例18】 大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率（ ）倍． A 、a b B 、nmC 、anbmD 、ab mn【难度】★【答案】C【解析】bmann b m a =÷．【总结】本题主要考查分式的除法的运用．【例19】 在下列各式中：①222()mn a b -；②42528m n an a b bm -⋅；③2222()()m nb ab a-⋅；④2322mn a ab m ÷， 相等的两个式子是（ ）．A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【难度】★ 【答案】B【解析】①22224224(mn m n a b a b -=；②4223524288m n an m n a b bm a b-⋅=-；③2222222224242244(()m nb m n b m n ab a a b a a b -⋅=⋅=； ④2322222342222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，在计算时要注意法则的准确运用．例题解析【例20】 下列各式计算正确的是（）． A 、1x y x y÷⋅=B 、1x y x y ⋅÷⋅=C 、21111x x x÷⋅=D 、211x x x÷÷= 【难度】★★ 【答案】C【解析】A 正确答案为211x xx y y y y y÷⋅=⋅=； B 正确答案为2x y x y y y y ⋅÷⋅=⋅=；D 正确答案为2221x x x x x x x÷÷=⋅÷=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例21】 计算：31a a a÷⋅． 【难度】★★ 【答案】a ． 【解析】3211a a a a a a÷⋅=⋅=． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例22】 计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】6b a．【解析】()2323423461a a a a a a b b b b b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷-=⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例23】 计算：22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy-+++-÷⋅-----． 【难度】★★【答案】x y zx y--+．【解析】22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy -+++-÷⋅-----()()()()()()()()()2x y x y x y x x y z x y z x y z x y z x y z x x y -+++-=÷⋅-++----+-()()()()()()()()()2x y x y x y z x y z x x y z x y z x y z x x y x y -+---++-=⨯⋅-++--+ x y zx y--=+． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一要注意运算顺序，二要注意先约分后化简．【例24】 若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★★ 【答案】1±【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭=()34334x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪+-⎝⎭1x=． ∵1x x=， ∴1±=x ． ∴1=±原式． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例25】 先化简，后求值：222221221()214841x x x x x x x --÷⋅++++-，其中13x =．【难度】★★★【答案】29．【解析】原式()()()()()()222112111()1141x x x x x x x +-+-=÷⋅-++()()()()()()22211411()21111x x x x x x x +-+=⋅⋅+--+()221x =-．当31=x 时，原式=22912(1)3=-． 【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例26】 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且2()0x a y b -++=，求代数式2222a ay bxb a ax by b x y a b+-+++-÷++的值．【难度】★★★【答案】21【解析】由题意有：a x =，b y -=． 原式()222222a a b ba b a a b b a ba b +⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+ ()()()22a b a b a ba b a b -+=⋅-+-12=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用，另外还要注意几个非 负数的和为零时，则每个非负数都为零．【习题1】 下列计算中，错误的是（）．A 、332628y y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 、2362441639b b c c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ C 、22222x y x y x y x y ⎛⎫--=⎪++⎝⎭D 、22436n nn b b a a⎛⎫= ⎪-⎝⎭【难度】★ 【答案】C【解析】正确答案为2222222x y x y xyx y x y xy ⎛⎫-+-= ⎪+++⎝⎭． 【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用．【习题2】 计算：2361053x y y x-⋅． 【难度】★【答案】24xy-．【解析】考察分式的乘法法则，先约分后计算．【习题3】 下列运算中正确的是（ ）．A 、m n m m ÷⋅=B 、1m n m n÷⋅=C 、11m m m÷⋅=D 、n m m n ÷⋅=【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为2m m m n m m n n÷⋅=⋅= ；B 正确答案为211m mm n n n n n ÷⋅=⋅= ；C 正确答案为1111m m m m m m m÷⋅=⋅⋅=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．随堂检测【习题4】 计算：（1）3222x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）223328ab a bc cd-÷．【难度】★【答案】（1）y x 4；（2）234acbd-． 【解析】（1）322644232x x x y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫-÷=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）222332238428233ab a b ab cd bdc cd c a b ac -÷=⨯=--． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【习题5】 计算：（1）222222105x y a ba b x y +⋅-；（2）24334x x x x x -+⋅+-． 【难度】★ 【答案】（1）yx -4；（2）x ． 【解析】（1）()()()2222222221010455x y x y a b a b a b x y a b x y x y x y++⋅=⋅=-+--；（2）()244333434x x x x x x x x x x x --++⋅=⋅=+-+-．【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．【习题6】 计算：（1）；（2）45a b a a b a -⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★ 【答案】（1）122--a a ；（2）a b a-．【解析】（1）()()()()()()()()1211221331222333442222--=+--=++-⋅---+=++-⋅+--a a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（2）()()445554a b a b a a a a b a a b a b a --⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-． 【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．222434332a a a a a a --⋅-+++【习题7】 计算：11x y y y⋅÷⋅． 【难度】★★ 【答案】xy ． 【解析】111x y x y y xy y y y⋅÷⋅=⋅⋅⋅=． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题8】 计算：22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-．【难度】★★ 【答案】2 【解析】原式()()()2233(2)1(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题9】 计算： 22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--． 【难度】★★ 【答案】1【解析】22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--()()()()()()222222111121x x x x x x x x x x --++-=⋅÷⋅++---()()()()()()222112112221x x x x x x x x x x -+-+-=⋅⋅⋅+-+--1=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题10】 计算：若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】2-≠x 且3-≠x 且4-≠x ． 【解析】考察分式有意义的条件【习题11】 计算：2111a b c d b c d÷÷÷⨯÷⨯．【难度】★★★【答案】222dc a ．【解析】2222211111111a a b c d a b b c d b c c d d c d ÷÷÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题12】 已知x 为整数，且分式2221x x +-的值为整数，则x 可取的值有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【难度】★★★ 【答案】D 【解析】∵()()()2212221111x x x x x x ++==-+--， ∴要使分式值为整数，则11111212x x x x -=-=--=-=-或或或，∴x 的值为2，0，3，-1．【总结】本题主要考查分式值为整数的条件．【习题13】 已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-.的值是____________． 【难度】★★★ 【答案】2 【解析】()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x --+--+-==--+=-=--．【总结】本题一方面考查分式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．【习题14】 计算：已知234a b c==，求22a ab ac a b c a b c --⋅---+的值． 【难度】★★★【答案】34【解析】设k a 2=，k b 3=，k c 4=．则()22222242343a a b c a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】本题主要是考查利用设k 法求分式的值．【习题15】 阅读理解：符号“a cb d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ac bd=ad bc -，例如32 54的计算方法为32 54=342512102⨯-⨯=-=.请根据阅读理解，化简下面的二阶行列式：1aaa-211a -．【难度】★★★ 【答案】a a 22+．【解析】1aa a-211a -()()a aa a a aa a a 211122+=++=-⋅--=．【总结】本题属于阅读理解题，计算时要注意对法则的正确理解和运用．【作业1】 下列各式计算正确的是（）． A 、222a ab b a b b a-+=--B 、2232()x xy y x y x y ++=++C 、23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、11x y x y-=-+- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为()()2222a b a ab b a b b a a b --+==-+--- ；B 正确答案为()2223321()()x y x xy y x y x y x y+++==+++；C 正确答案为23648x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的化简和分式乘法法则的运用．【作业2】计算：（1）232384xx y y⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（2）2221x x xx x +⋅-． 【难度】★【答案】（1）y x 36-；（2）11-x ． 【解析】（1）原式36x y =-；（2）原式2(1)(1)(1)x x x x x x +=⋅-+11x =-． 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．【作业3】 计算：（1）28123aba b x ÷ ；（2）2222111x x x x x x-+-÷-+． 【难度】★【答案】（1）ax92；（2）x ． 【解析】（1）2288121233129ab ab a b x x a b ax ÷=⋅=； （2）原式2(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -+=⋅=+-- 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．课后作业【作业4】 计算：（1）()()222211x xy x yx x x x -+⋅--；（2）222()a b ab b ab b a b ⎡⎤++÷-⎢⎥--⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）x y；（2）2bb a --． 【解析】（1）()()()()()()()222221111111x x xy x xy x yy x xx x x x x x x x --++⋅=⋅=-+---；（2）()()22222()()a b ab b a b a b a bab b a b b a b b a b b ⎡⎤⎡⎤+++--÷-=⋅-=-⎢⎥⎢---+⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业5】 计算：()()422222a a b a a b b b aa b +-÷⋅-．【难度】★★ 【答案】ba b -4．【解析】()()()()()()24222224222a a b a a b a b a a b b b b b b a a a b a a b a b a b +-+-÷⋅=⋅⋅=+---． 【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业6】 若某分式乘以2m m -所得的积为214m -，求这个分式．【难度】★★【答案】212m m +．【解析】()()()2211211422222m m m m m m m m m m m -÷=⋅==--+-++． 【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，注意对题意的理解．【作业7】 先化简后求值：()()()22515a a a a a a-+÷+-，其中13a =-．【难度】★★ 【答案】9 【解析】()()()22515a a a a a a-+÷+-()()()()51151a a a a a a -+=⨯-+21a =．当31-=a 时，原式=9．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业8】 阅读理解：计算1(2)2x x x ÷-⋅-时，小虎给出了他的解答过程如下：解：12(2)122x x x x x x x x -÷-⋅=÷=÷=--. 试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程． 【难度】★★★【答案】不正确．运算顺序有错误．正确解答过程如下： ()2111(2)2222x x x x x x x x ÷-⋅=⋅⋅=----． 【解析】注意运算顺序是按照从左到右的顺序计算．【作业9】 先化简，再求值：22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+，其中21a a =-． 【难度】★★★ 【答案】-1【解析】22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+()()()()2221(1)211a a a a a a a -+-=⋅⋅++-+()()21a a =-+ 22a a =--．∵21a a =-， ∴21a a -=-．∴原式123=--=-．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．【作业10】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y 的比值． 【难度】★★★【答案】54【解析】()()yx yx y x y x +-++=++％％10140101504050 y x y x 36554050+=+ y x 45=54:=y x ． 【总结】本题主要是对之前所学知识的一个综合运用，注意解题方法的选择．。
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式
初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要的一个概念，它在解决很多数学问题中起着关键的作用。
本次讲座将详细介绍乘法公式的概念、应用以及相关的解题技巧。
一、乘法公式的概念在初中数学中，我们通常将两个数的乘积称为乘法。
而乘法公式则是指对特定形式的乘法运算提出的一种常用的计算方法。
常见的乘法公式有两个，即分配率和乘方公式。
1.1分配率分配率是指对于两个数a、b和一个数c来说，a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。
数学表达式为：a×(b+c)=a×b+a×c。
分配率的应用非常广泛，常见的运用场景有列式展开、计算面积和周长等。
在列式展开中，我们可以根据分配率将一个较为复杂的数学表达式，通过拆分成多个简单的乘法运算来计算。
例如，(2x+3)×4x=2x×4x+3×4x=8x²+12x。
1.2乘方公式乘方公式也是乘法公式的一种，它是指一个数a的n次方等于a连乘n次的乘积。
数学表达式为：a^n=a×a×…×a(共n个a)。
乘方公式的应用也非常广泛，尤其在解决求幂问题时经常使用。
通过运用乘方公式，我们可以将复杂的指数运算转化成简单的乘法运算。
例如，2的3次方等于2×2×2=8二、乘法公式的应用乘法公式在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的乘法公式应用场景。
2.1代数式展开在代数式展开中，我们经常需要将一个括号内含有多个项的式子，根据分配率拆分成多个简单的乘法运算。
通过这种方式，我们可以更方便地计算其值。
例如，(2x+3)×(4x+5)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5=8x²+10x+12x+15=8x²+22x+152.2计算面积和周长在计算面积和周长时，我们通常需要根据给定的条件，运用分配率进行计算。