卷积积分的运算

0 t-2 1
t
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算： A、交换律：
x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x1 (t ) y (t ) x(t ) h(t ) h(t ) x(t )
B、结合律：
x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] [ x1 (t ) x2 (t )] x3 (t )
( 2) 2
( 2 ) 1
1 2 1 2 [ t u (t ) (t 1) u (t 1)] [ (t ) 2 (t 1) (t 2)] 2 2 1 2 3 3 1 2 2 2 t u (t ) (t 1) u (t 1) (t 2) u (t 2) (t 3) u (t 3) 2 2 2 2
0

t
m
x (t mT )
0
第2章 连续时间系统的时域分析
x(t )
x( t )
m
x (t m T)
0

x( t )
T
0

t
T
0

t
x( t )
0
T

t
第2章 连续时间系统的时域分析
思考：下列卷积，选用什么方法最好？
1. tu(t ) u(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
第2章 连续时间系统的时域分析
例6
计算系统的零状态响应 y(t ) f (t ) h(t )， 已知：f (t ) u(t ), h(t ) et u(t )
f (t )
f ( )
h(t )
t
h( )

h( )

t
第2章 连续时间系统的时域分析
3.利用函数式计算卷积, 常见四种形式的积分限：

y (t )

x( )h(t )d [一般的x(t )和h(t )]
u (t )
y (t ) x( )h(t )d [有始的x(t )和一般的h(t )]
0
y (t )
解：利用卷积的性质：
T (t )
...
0
...
T t
x ( t ) x0 ( t ) T ( t ) x0 ( t ) [
0 m
(t mT )]

单位冲激串
x0 (t )
m
x (t ) (t mT )
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1 ) x(t t0 t1 )
4、经验公式：
x1 (t t0 ) x2 (t t1 ) x1 (t ) x2 (t ) t t t
x(t ) (t ) x(t ) 相当于微分运算 x(t ) (t ) x(0) (t ) x(0) (t ) 比较
x(t ) u(t ) x( )d 相当于积分运算

t
x(t )
(k )
(t ) x (t ) 相当于k个微分器级联
对于并联系统：
h1 (t ) x(t ) h2 (t )

y(t )
y(t ) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h(t )
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单 位冲激响应的和 2、卷积的微积分性质 对于任意函数x(t)，用 x (t ) 表示其一阶导数，用 x (t ) 表示其n阶导数，用x ( 1) (t )表示其一次积分，用x( m) (t ) 表示其m次积分 A、微分性质：若 x(t ) x1 (t ) x2 (t )
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。 C、分配律：
x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x3 (t )
第2章 连续时间系统的时域分析
C、微积分性质：若 x(t ) x1 (t ) x2 (t )
( 1) (1) ( 1) x(t ) x1 (t ) x2 (t ) x1(1) (t ) x2 (t )
推广到一般：x(t ) x1
( m)
( m) ( m) (t ) x2 (t ) x1( m) (t ) x2 (t )
0 t1
思考：
u(t 1) u(t 1) ? u(t 1) u(t 1) (t 2)u(t 2)
第2章 连续时间系统的时域分析
单位冲激函数： (t ) 单位冲激偶：
2.7 奇异函数的卷积
比较
(t )
x(t ) (t ) x(t )
x(t ) (t ) x(0) (t )
a t-2
a 0 t 1
t
t 0 1. 重合面积为零: f1 (t ) f 2 (t ) 0
b f 2 (t ) t 0t 2 2
f1 (t ) a 0 t 1
2
t-2

0 1
t-2 0 1 t
2. if 0 t 1
0 t-2 1
t
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
1
1
1 t 2
0
t 1 1 t
2

1 t 2
0
1 t 1 2
t
3

第2章 连续时间系统的时域分析
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
, (l1 l 2), (l1 m2), (l 2 m1), (m1 m2),
应用
2
f(t)
1
h(t)
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t ) x(t ) h(t )

x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量；
2）把其中一个信号翻转、平移；
翻转 平移t h( ) h( ) h(( t )) h(t )
t
x( )h(t )d [一般的x(t )和有始的h(t )]
u (t )
t
y (t ) x( )h(t )d [有始的x(t )和h(t )]
0
第2章 连续时间系统的时域分析
例10：已知 x0 (t )和 T (t ) 的波形如下图所示，试求
x(t ) x0 (t ) T (t )
(1) ( n)
x (t ) x (t ) x2 (t ) x1 (t ) x (t )
(1) (1) 1 (1) 2
( n) ( n) ( n) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x ( t ) x 推广到一般： 1 2 1 2 (t ) B、积分性质：若 x(t ) x1 (t ) x2 (t ) ( 1) x( 1) (t ) x1( 1) (t ) x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) ( n) ( n) ( n) x (t ) x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x2 (t ) 推广到一般：
4. if 2t 3
1
ab ( 2t 1) 4
t-2
0
1 t
b f 1 f 2 a (t ) d t 2 2 ab ab 2 1 (t ) 1t 2 (3 2t t 2 ) 4 4
5. if 3t
f1 f 2 0
1 0
1.图解法：
x 2 (t )
1 0
1
t
1
2 t
x1 ( )
1 0
-1

第2章 连续时间系统的时域分析
x1 (t ) x2 (t )
1
x1 ( t )
0 1 2 1 2 t 0 t 1 d t 0 t 1 0 2 1 t 2 2 d ( 2)d t 3t 1 t 2 t 1 3 1 2 1 2 9 2t 3 t 1 ( 2)d t 3t 2 2 x (t ) x 其它 (t ) 0 1 1
0 t1
第2章 连续时间系统的时域分析
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积 2.利用性质计算卷积
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
分段时限
卷积积分限
第2章 连续时间系统的时域分析
例8：已知 x1 (t ) 和 x2 (t ) 的波形如图所示，试求
x1 (t ) x2 (t )
x1 ( t )
Hale Waihona Puke Baidu
h(t- )
1
f( )
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域 1+4=5; 1+5=6; 3+4=7; 3+5=8 1 3.确定积分限
t 1
4 5
1
3

4
-3
-1
f( )
0 5

4

4
5
t 3

5
4 t 1

0
8
6
7
第2章 连续时间系统的时域分析
2.利用微积分性质
x1 (t ) x2 (t ) x x1 (t ) u(t ) u(t 1) x
2. e u(t ) e u(t )
at at
3. sin tu(t ) [u(t ) u(t 4)]
4. e u(t ) u(t 1)
3t
作业：P70－P73 2.5(a),(d),(f),(g)； 2.12；2.21
第2章 连续时间系统的时域分析
经验公式：
x1 (t t0 ) x2 (t t1 ) x1 (t ) x2 (t ) t t t
x1 ( t )
1 0
x 2 (t )
1 0
1
t
1
2 t
第2章 连续时间系统的时域分析
x (t ) u(t ) 2u(t 1) u(t 2)
(1) 2
x (t ) (t ) 2 (t 1) (t 2)
( 2) 2
x1 (t ) x2 (t ) x (t ) x (t )
(k )
x(t )
对于级联系统：
x(t ) h1 (t ) h2 (t ) y(t )
y(t ) [ x(t ) h1 (t )] h2 (t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] [ x(t ) h2 (t )] h1 (t ) x(t ) h(t )
f ( )h(t )

t

f (t ) * h(t )
( t ) t e d 1 e 0
t
t 0
第2章 连续时间系统的时域分析
例7 : 计算f1 f 2
f1(t) a 0 1
*
t
b
0
f2(t)
f ( ) f
1
2
(t )d
( 1) 1
( 2) 1
(t ) x (t )
( 2) 2
(t ) tu(t ) (t 1)u(t 1) 1 2 1 ( 2 ) 2 x1 (t ) t u (t ) (t 1) u (t 1) 2 2 x2 (t ) t[u(t ) u(t 1)] (2 t )[u(t 1) u(t 2)]


第2章 连续时间系统的时域分析
b ab a (t )d (t ) 2 0 2 4
t
t 0
3. if 1 t 2
1
ab 2 t 4
t-2
1 0
a 0
t 1
b ab f 1 f 2 a (t )d (t ) 2 0 2 4