三角函数的诱导公式(一)

三角函数得诱导公式(一)

[学习目标]1、了解三角函数得诱导公式得意义与作用、2、理解诱导公式得推导过程、3、能运用有关诱导公式解决一些三角函数得求值、化简与证明问题.

知识点一诱导公式一～四

(1)公式一:sin(α＋2kπ)＝sin α,cos(α＋2kπ)＝cos α,

tan(α＋2kπ)＝tan α,其中k∈Z、

(2)公式二:sin(π＋α)＝－sin α,cos(π＋α)＝－cos α,

tan(π＋α)＝tan α、

(3)公式三:sin(－α)＝－sin α,cos(－α)＝cos α,

tan(－α)＝－tan α、

(4)公式四:sin(π－α)＝sin α,cos(π－α)＝－cos α,

tan(π－α)＝－tan α、

思考1任意角α与π＋α,－α,π－α得终边之间有怎样得对称关系？

思考2设任意角α得终边与单位圆交于点P(x0,y0),分别写出π＋α,－α,π－α得终边与单位圆得交点坐标.

知识点二诱导公式得记忆

2kπ＋α(k∈Z),π＋α,π－α,－α得三角函数值,等于α得同名函数值,前面加上一个把α瞧成锐角时原函数值得符号.简记为“函数名不变,符号瞧象限”.

思考您能用简洁得语言概括一下诱导公式一～四得作用吗？

题型一给角求值

例1求下列各三角函数值.

(1)sin(－83π); (2)cos 196π; (3)sin[(2n ＋1)π－23

π]. 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23

π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3

) ＝－sin π3＝－32

、 (2)cos 196π＝cos(2π＋76

π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32

、 (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23

π)] ＝sin π3＝32

、 跟踪训练1 求下列三角函数值.

(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π; (2)cos 296

π; (3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76

π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12

; (2)cos 296π＝cos(4π＋56

π) ＝cos 56

π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32

; (3)tan(－855°)＝－tan 855°

＝－tan(2×360°＋135°)

＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1、

题型二 给值求值问题

例2 已知cos(α－75°)＝－13

,且α为第四象限角, 求sin(105°＋α)得值.

解 ∵cos(α－75°)＝－13

<0,且α为第四象限角, ∴α－75°就是第三象限角.

∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°)

＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223、 ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°)

＝－sin(α－75°)＝

223、 跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35

,π<α<2π,求sin(α－3π)＋cos(α－π)得值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35,∴cos α＝35, ∵π<α<2π,∴3π2<α<2π,∴sin α＝－45

、 ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)

＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α

＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15

、 题型三 三角函数式得化简

例3 化简下列各式.

(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)

;

(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°

、 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)

＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α

＝－sin αcos α＝－tan α、 (2)原式＝

1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°

＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°

＝－1、 跟踪训练3 化简:(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)

; (2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ)

、 解 (1)原式＝sin[360°＋(180°＋α]·cos α－tan (180°－α)

＝sin (180°＋α)cos αtan α

＝－sin αcos αsin α

cos α

＝－cos 2α、 (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ

＝－cos θ、

分类讨论思想在三角函数中得应用

例4 证明:2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)

＝(－1)n cos α,n ∈Z 、