数学-极值点偏移问题的求解策略
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解法一：
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x ①当 a 0 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时，
x
lim ( x 2)e x 0,
当 x 时， a( x 1)2 ，
当 x 时， f ( x) .
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
x 2
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； 几何画板动画演示
解法二：（分离参数）
f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点 (2 x)e x 有两根. 方程 a 2 ( x 1)
(2 x)e x g ( x) ( x 1)2
(0, )
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
③当 a 0 时，
2 e 若a ， 2
f ( x) 0 x 1或x ln(2a). e 若 a 0 ， f ( x ) 不存在两个零点.
f ( x) 不存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
令g ( x) ( x 1)(e2 x e x ). 所以当 x 1 时， g ( x) 0 ，而 g (1) 0 ，
故当 x 1 时， g ( x) 0. 从而 g ( x2 ) f (2 x2 ) 0, 故x1 x2 2.
归纳总结
要证 x1 x2 2 只需证 x1 2 x2
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x a 0 ①当 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时， f ( x) 存在两个零点. ③当 a 0 时， f ( x) 0 x 1或x ln(2a).
பைடு நூலகம்
F ( x) f ( x) f (2 x)
目标 ＋ 落实
准确定位
认真落实 坚持不懈
成功 ＋ 心安
f ( x1 ) f ( x2 )
不妨设
x1 1 x2 ,
只需证 f ( x1 ) f (2 x2 )
只需证 f ( x2 ) f (2 x2 )
x1, 2 x2 ,1
原始型差函数
构造
对称型差函数 F ( x) f (1 x) f (1 x)
取 b 0, b ln
b
f (b) (b 2)e a(b 1)
a , 2
2
f (1) e 0
f (2) a 0
3 a 2 2 (b 2) a(b 1) a (b b) 0. 2 2
故 f ( x ) 存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
f (1) e 0
f (2) a 0
故 f ( x ) 存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
解法一：
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x ①当 a 0 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时，
解法一：
e a 0，则 ln(2a) 1, 2
若
又因为当 x 1 时 f ( x) 0 ，
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
解法一：
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x a 0 ①当 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时， f ( x) 存在两个零点. (0, )
由于 f ( x ) 在 (-,1) 上单调递减，
所以 x1 x2 2 f ( x1 ) f (2 x2 ) . 即
f (2 x2 ) 0.
由于f (2 x2 ) x2e2 x2 a( x2 1)2 , 而f ( x2 ) ( x2 2)ex2 a( x2 1)2 0. 所以f (2 x2 ) x2e2 x2 ( x2 2)e x2 . 令g ( x) xe2 x ( x 2)ex .
x1 x2 1 x1 x2 2 2
f (2 x2 ) 0 0 f ( x2 ) f (2 x2 )
问题解决
f ( x1 ) f (2 x2 )
x1 2 x2 x1 x2 2
问题解决
不妨设 x1 1 x2 ， 则2 x2 (1, ).
x1 x2 1 2 两个零点
x1 , x2
的中点
极值点
问题提出
x1 x2 x0 2
极值点居中
x1 x2 x0 2
极值点偏移
极值点偏移问题的求解策略
问题解决
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x ①当 a 0 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时，
x
lim ( x 2)e x 0,
当 x 时， a( x 1)2 ，
当 x 时， f ( x) .
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e a( x 1) 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
x 2
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； 几何画板动画演示
解法二：（分离参数）
f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点 (2 x)e x 有两根. 方程 a 2 ( x 1)
(2 x)e x g ( x) ( x 1)2
(0, )
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .
③当 a 0 时，
2 e 若a ， 2
f ( x) 0 x 1或x ln(2a). e 若 a 0 ， f ( x ) 不存在两个零点.
f ( x) 不存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
令g ( x) ( x 1)(e2 x e x ). 所以当 x 1 时， g ( x) 0 ，而 g (1) 0 ，
故当 x 1 时， g ( x) 0. 从而 g ( x2 ) f (2 x2 ) 0, 故x1 x2 2.
归纳总结
要证 x1 x2 2 只需证 x1 2 x2
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x a 0 ①当 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时， f ( x) 存在两个零点. ③当 a 0 时， f ( x) 0 x 1或x ln(2a).
பைடு நூலகம்
F ( x) f ( x) f (2 x)
目标 ＋ 落实
准确定位
认真落实 坚持不懈
成功 ＋ 心安
f ( x1 ) f ( x2 )
不妨设
x1 1 x2 ,
只需证 f ( x1 ) f (2 x2 )
只需证 f ( x2 ) f (2 x2 )
x1, 2 x2 ,1
原始型差函数
构造
对称型差函数 F ( x) f (1 x) f (1 x)
取 b 0, b ln
b
f (b) (b 2)e a(b 1)
a , 2
2
f (1) e 0
f (2) a 0
3 a 2 2 (b 2) a(b 1) a (b b) 0. 2 2
故 f ( x ) 存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
f (1) e 0
f (2) a 0
故 f ( x ) 存在两个零点.
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
解法一：
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x ①当 a 0 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时，
解法一：
e a 0，则 ln(2a) 1, 2
若
又因为当 x 1 时 f ( x) 0 ，
问题提出
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围；
解法一：
f ( x) ( x 1)(e x 2a). x a 0 ①当 时， f ( x) ( x 2)e ， f ( x ) 只有一个零点； ②当 a 0 时， f ( x) 存在两个零点. (0, )
由于 f ( x ) 在 (-,1) 上单调递减，
所以 x1 x2 2 f ( x1 ) f (2 x2 ) . 即
f (2 x2 ) 0.
由于f (2 x2 ) x2e2 x2 a( x2 1)2 , 而f ( x2 ) ( x2 2)ex2 a( x2 1)2 0. 所以f (2 x2 ) x2e2 x2 ( x2 2)e x2 . 令g ( x) xe2 x ( x 2)ex .
x1 x2 1 x1 x2 2 2
f (2 x2 ) 0 0 f ( x2 ) f (2 x2 )
问题解决
f ( x1 ) f (2 x2 )
x1 2 x2 x1 x2 2
问题解决
不妨设 x1 1 x2 ， 则2 x2 (1, ).
x1 x2 1 2 两个零点
x1 , x2
的中点
极值点
问题提出
x1 x2 x0 2
极值点居中
x1 x2 x0 2
极值点偏移
极值点偏移问题的求解策略
问题解决
【2016 全国课标Ⅰ卷理 21】 【题目】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2 有两个零点. （Ⅰ）求 a 的取值范围； (0, ) （Ⅱ） 设 x1 , x2 是 f ( x) 的两个零点， 证明：x1 x2 2 .