Minitab单因素方差分析汇编

y 1 r n i1
mi
yij
j 1

1 n
r
mi yi
i1
， yi

1 mi
mi
yij ．
j 1
总偏差平方和 ST ：
r mi
ST
( yij y)2，
i1 j1
fT n 1．
可把 ST 分解为如下两个平方和
r mi
ST
( yij yi ) ( yi y) 2
其中
yij 是因子A的第i个水平下第j次试验结果；
i 是因子A的第i个水平的均值，是待估参数；
ij 是因子A的第i个水平下第j次试验误差，它们是相
互独立同分布 N (0, 2 ) 的随机变量．
由此可知：yij ~ N(i , 2 )
单因子方差分析
Minitab
单因子方差分析问题就是在方差相等情况下对多个 正态均值是否彼此相等的一个假设检验问题．
经过随机化后，所得的n个试验结果列于下表．
单因子试验的数据：
因子 A 的水平
A1 A2

Ar
数据
y11 y12 y1m1
y21 y22 y2m2

yr1 yr 2 yrmr
和
均值
T1 y11 y12 y1m1 T2 y21 y22 y2m2
y1 T1 / m1 y2 T2 / m2
方差分析
Minitab
• 方差分析与回归分析的区别：当研究的是 两个数值型变量的关系时是回归分析.
• 回归分析沿水平轴的自变量是数值型变量， 而方差分析中是分类变量。
方差分析
Minitab
• 在因素只有一个时不一定要采用方差分 析，可以采用t-检验和 z-检验
• t-检验和 z-检验不能用于多于 2 个样 本的数据. 此时就要采方差分析。
方差分析
方差分析
MMiniintiatbab
方差分析 (analysis of variance 简称ANOVA).
实际工作中这样的问题：几种不同的原料对 产品质量有无显著影响 这里考察的对象：原料称为因素 把因素所对应的状态称为水平 当考察的因素只有一个时，称为单因素问题。
方差分析
Minitab
i1 j1
r mi
r

( yij yi )2 mi ( yi y)2 .
i1 j1
i 1
单因子方差分析
r mi
ST
( yij y)2
i1 j 1

( yij yi ) ( yi y) 2
Minitab
r mi
r mi

( yij yi )2
( yi y)2
i1 j 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i1 j1
ST SE SA
单因子方差分析 总平方和的分解公式 Minitab
其中第一个平方和
r mi
( yij yi )2
i1 j1
称为组内平方和 S内 ，又称为误差平方和 Se ，其自由度
f e n r ．第二个平方和
• 例 考察温度对某一化工产品的得率的影响， 选了五种不同的温度，同一温度作了三次试 验，测得的结果如下：
温度 60 65 70 75 80
90 97 96 84 84 得率 92 93 96 83 86
88 92 93 88 82 平均 90 94 95 85 84 得率
方差分析
Minitab
• 要分析不同的温度对得率的影响，考虑如 下的问题：同一温度下的得率不一样，差 异原因称为试验误差；
定理 在单因子方差分析的三个基本假定下，有
E(Se ) (n r) 2 ，
r
E(S A) (r 1) 2 mi (i )2 ． i 1
其中

1 n
r i 1
mi i

E(y) ．
单因子方差分析 F检验
Minitab
r
mi ( yi y)2.
i 1
称为组间平方和 S间 ，又称为因子 A 的平方和 S A ，其自由度 fA r 1．
单因子方差分析 均方和
Minitab
平方和除以自己的自由度称为均方和，亦可称均方，记为
MS．误差的均方和与因子 A 的均方和分别为
MSe
Se ， nr
MSA

SA ． r 1
…
Tr yr1 yr 2 yrmr
…
yr Tr / mr
单因素方差分析单因子试验的三项基本假定
Minitab
自正A1态.正总态体性N。(在i ,水i2 )平的Ａ一i下个的样数本据，yii=1,1y,i22,……,,ry．imi是来
A2.方差齐性。r个正态总体的方差相等，即

2 1


2 2




2 r
2
．
A3.随机性。所有数据yij都相互独立．
单因子试验所涉及的多个正态总体
单因素方差分析 单因子试验的统计模型 Minitab
单因子试验的三项基本假定用到试验数据yij上去， 可得到如下统计模型：
yij

i


，
ij
i 1,2,, r，j 1,2,, mi
• 方差分析有单因素与多因素的区分。
单因素方差分析理论基础
单因素方差分析单因子试验的一般概述（记号） Minitab
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar．
在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr． 记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里 i ——水平号，j ——重复号．
H 0 : 1 2 ... r ，
H1 : 诸i 不全相等 ．
若在显著性水平 上拒绝 H 0 ，则称因子 A 在水平 上是显著的，简称因子 A 显著．否则称因子 A 不显著．
检验上述假设的关键在于总平方和的分解．
单因子方差分析 总平方和的分解公式
Minitab
单因子试验共有 n m1 m2 mr 个数据，总平均值:
• 温度的不同引起的得率的差异称为条件误 差。
方差分析
Minitab
当我们要问温度对得率到底有无确切的影响 时，由于上述多种误差原因的存在，就不能 随意回答.
方差分析
Minitab
方差分析的功能：分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，确定实验中 的自变量是否对因变量有重要影响。 方差分析的方法：检验各总体的均值是 否相等来判断分类型自变量（因素）对数值 型因变量是否有影响。