平面直角坐标系中的基本公式

x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
则d(A，B)=|x2－x1|.
例． 在数轴上表示下列各点：A(－3)， B(－1)，C(1)，D(2)，并找出与C的距离 是1 两点M、N，并写出它们的坐标. 解：如图:
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
与C的距离是1的点M、N分别位于点C 的两侧：M(0)，N(2)，点N与点D 重合
2.1.2平面直角坐标系中的 基本公式
二. 两点间的距离公式 当AB时不平行于坐标轴，也不在坐标 轴上时，从点A和点B分别向x轴，y轴作垂 线AA1，AA2，BB1，BB2，
y
垂足分别为A1(x1，0)，A2(y1， 0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，
y A(x 1,y 1) O B(x 2,y 2) M(x ,y) x
例4．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标。 解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。 设D点的坐标为(x，y)，
则
x 2 3 5 1 2 2 y 2 0 2 1 2 2
（x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
y B2 A(x1,y1)
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；
当AB平行于y轴时，d(A，B)Baidu Nhomakorabea|y2－y1|；
当B为原点时，d(A，B)= x y
2 1
2 1
求两点距离的步骤 已知两点的坐标，为了运用两点距离 公式正确地计算两点之间的距离，我们可 分步骤计算：
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
=2(2a2+b2+c2－2ab)，
AB2+AD2=2a2+b2+c2－2ab， 所以 ：AC2+BD2=2(AB2+AD2).
三. 中点公式
已知A(x1，y1), B(x2，y2)两点，M(x，y)
是线段AB的中点，则有
x1 x2 x 2 y y1 y2 2
（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2， y2). （2）计算两个坐标的差，并赋值给另外 两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.
（3）计算 d= x 2 y 2 （4）给出两点的距离 d. 通过以上步骤，对任意的两点，只 要给出两点的坐标，就可一步步地求值， 最后算出两点的距离.
2 2
2 2 d(A，C)= （ 5 1 ） （ 02 ） 20
2 2 d(B，C)= （ 53 ） （ 04 ） 20 因为|AC|=|BC|，且A，B，C不共线，
所以△ABC是等腰三角形。
例3．已知□ABCD，求证： AC2+BD2=2(AB2+AD2). y 证明：取A为坐标原点， AB所在的直线为x轴，建 O A 立平面直角坐标系xOy，
3．相等的向量：数轴上同向且等长的向 量叫做相等的向量；
4．数量：用实数表示数轴上的一个向量， 这个实数叫做向量的坐标或数量。
常用AB表示向量 AB 的坐标。
如何理解相等向量？ 1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的 向量，定义中没有对向量的起点和终点 作出限制，实际上不管起点在什么位置， 只要方向相同，长度相等，这样的向量 就是相等向量。 2．相等的向量，坐标相等，反之，如果 数轴上的两个向量的坐标相等，则这两 个向量相等。
2.1.1平面直角坐标系中的基本公式
数轴上的基本公式
一.直线坐标系 1．直线坐标系：一条给出了原点、度量 单位和正方向的直线叫做数轴，或说在 这条直线上建立了直线坐标系。如图：
2．数轴上的点P与实数x的对应法则： 如果点P在原点朝正向的一侧，则x为 正数，且等于点P到原点的距离； 如果点P在原点朝负向的一侧，则x为 负数，其绝对值等于点P到原点的距离； 如果点P在原点，则表示x=0， 由此，实数集和数轴上的点之间建立了 一一对应关系；
D(b-a,c)
C(b,c)
x B(a,0)
依据平行四边形的性质可设点A，B，C， D的坐标为A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， D(b－a，c)，
所以 AB2=a2，AD2=(b－a)2+c2， AC2=b2+c2，BD2=(b－2a)2+c2， AC2+BD2=4a2+2b2+2c2－4ab
例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求 d(A，B)。 解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3， △x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，
∴ d(A，B)=
x y 65
2 2
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A，B)= (3 1) (4 2) 8