第二章凝固温度场

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（一） 铸件凝固方式分类
固相区
固-液
液-固
固液相区
图2-8 凝固区域结构示意图 第二章 凝固温度场
液相区
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根据固液两相区的宽度，可将凝固过程分为逐层 凝固方式与体积凝固方式（或糊状凝固方式）。 当固液两相区很窄时称为逐层凝固方式，反之为 糊状凝固方式，固液两相区宽度介于两者之间的 称为“中间凝固方式”。 铸件凝固方式对凝固液相的补缩能力影响很大， 从而影响最终铸件的致密性和热裂纹产生几率。
模数最大的单元体的凝固时间即为铸件的凝固时间。
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三、界面热阻与实际凝固温度场
上述关于铸造过程凝固温度场的分布以及凝固时间的讨 论均将铸件与铸型的接触当作是理想状态下的紧密接触， 实际界面存在热阻。
热阻来源
界面局部接触，有间隙 铸型型腔内表面常存在涂料
实际界面接触状况与涂料状况对界面热阻大小有重要影响。
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（三）铸件凝固方式的影响因素
合金凝固温度区间的影响
窄
宽
逐层凝固
中间凝固
体积凝固
陡
温度梯度的影响
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平
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第三节 熔焊过程温度场
一、 焊接温度场的一般特征
二、 影响温度场的因素
b1 1c11
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一、 焊接温度场的一般特征
移动热源焊接过程中，焊件上各点温度随时间及空间而 变化（不稳定温度场），但经过一段时间后，达到准稳定 状态（移动热源周围的温度场不随时间改变）。
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对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问 题给出导热体的初始条件与边界条件。
初始条件： 初始条件是指物体开始导热时（即 t
= 0 时）的瞬时温度分布。
边界条件： 边界条件是指导热体表面与周围介质
间的热交换情况。
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常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变化关系
且也随时间变化的温度场：
T fx ,y ,z,t
稳定温度场： 不随时间而变的温度场（即温度
只是坐标的函数）：
Tfx,y,z
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等温面：空间具有相同温度点的组合面。 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线
某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形 上反映为等温面（或等温线）越密集。
Tw f (t)
第二类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随时间的变
化关系
T qx, y,z,t
n
第三类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物体表面与
周围介质的换热系数
T ＝ n
TwTf
上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。
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三、凝固温度场的求解方法
（一） 解析法 （二） 数值方法
（2）铸件金属的凝固温度区间很小，可忽略不计； （3）不考虑凝固过程中结晶潜热的释放； （4）铸件的热物理参数与铸型的热物理参数不随温度变化； （5）铸件与铸型紧密接触，无界面热阻，即铸件与铸型在
界面处等温Ti 。
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求解一维热传导方程：
通解为：
T a 2T
t
x 2
T CDerf2
无限大长杆，面状热源
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半无限大物体表面受瞬时、固定热 源作用时温度场的解析解为：
O
x
y
zP
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厚大焊件点状连续移动热源的准稳定温度场的计算方程 以热源作用点为动坐标原点建立三维移动坐标系，在
达到极限饱和状态后，焊件上的焊接温度场见图－15。
Tsp
q ex pvxR v 2 R 2a 2a
图2-4为半无限大平板铸铁件分别在砂型和金属型铸模中
浇铸后在 t = 0.01h、0.05h、0.5h 时刻的温度分布曲线。
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二、铸件凝固时间计算
铸件的凝固时间：是指从液态金属充满型腔后至凝固完
毕所需要的时间。铸件凝固时间是制订生产工艺、获得稳 定铸件质量的重要依据。
无限大平板铸件的凝固时间 (理论计算法) 大平板铸件凝固时间计算（凝固系数法） 一般铸件凝固时间计算的近似公式（模数法）
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对于铸型： 所以：
T 2b 1 T 1 b 10 b b 2 2 T 20 b 1 T b 110 b b 1 2 T 20 er 2 fx a2t
T2
x
x0
T2 0 Ti a2 t
d时 t 间由铸 为 型 d： 2 Q 导 2 出 T t2 x 0A 的 db 热 2 t(T i tT 量 2)0Adt
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（一） 解析法
解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导 和演绎数学方程（或模型），得到用函数形式表示 的解，也就是解析解。
优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够
清楚地表达温度场的各种影响因素，有利于直观分析各参 数变化对温度高低的影响。
缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不
布的温度问题，转化为求在时间领域和空间领域内有限个 离微散分点方的程温的度一值种问数题值，计再算用方这法些。离有散限点元上法的的温解度题值步去骤逼是近先 连将续连的续温求度解分域布分。割差为分有法限的个解单题元基组础成是的用离差散商化来模代型替，微再商用， 这变样分就原将理热将传各导单微元分内方的程热转传换导为方以程节转点化温为度等为价未的知线量性的方线程 性组代，数最方后程求组解，全得域到内各的节总点体的合数成值矩解阵。。
T
T10
T1Ti
T10Tierf2
x a1t
铸件
λ1 c1 ρ1
Ti
T20
T2
Ti Ti T20erf2
x a2t
x
0
图2-3无限大平板铸件凝固温度场分布
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假 设：
推导过程
（1）凝固过程的初始状态为： 铸件与铸型内部分别为均温，铸件起始温度为浇铸温 度 ，铸型的起始温度为环境温度或铸型预热温度 ；
R V1 A1
可得一般铸件凝固时间的近似计算公式：
R
K
R为铸件的折算厚度，称为“模数”。“模数法” 也称为“折算厚度法则”。
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从传热学角度来说，模数代表着铸件热容量与散 热表面积之间的比值关系，凝固时间随模数增大而 延长。对于形状复杂的铸件，其体积与表面积的计 算都是比较麻烦的，这时可将复杂铸件的各部分看 作是形状简单的平板、圆柱体、球、长方体等单元 体的组合，分别计算出各单元体的模数，但各单元 体的结合面不计入散热面积中。一般情况下：
1600 1400
t=0.05h
1200
t=0.5h
1000 800 600 400
金属型铸型由于具有良好的导热性能， 因此铸件的凝固、冷却速度较快。
铸型侧
T T10
铸件侧
Ti
T20
b2 2c22
铸件侧：
T 1b 1 T 1 b 10 b b 2 2 T 20 b 2 T b 1 10 b b 2 2 T 20 er 2 fx a 1 t
铸型侧：
T 2b 1 T 1 b 10 b b 2 2 T 20 b 1 T b 1 10 b b 1 2 T 20 er 2 fx a2t
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极限饱和状态下的焊接温度场
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二、 影响焊接温度场的因素
焊件尺寸 焊件热物理性能 焊接规范 多层焊
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T
厚当大固件定对热电源分弧别
加作热用部在位厚大的件冷、却薄
3
作板用和最细强长杆，上接时头，
2
x=0
假设焊件从热源获
温度下降速度最
得的瞬时热能相等，
砂型
1400
1200
砂型铸型的导热性能较差，在界面两 侧形成了截然不同的温度分布形态。
1000
800
t=0.01h t=0.05h
600
t=0.5h
400
200
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02
0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
砂型－距离/m－铸件
金属型
t=0.01h
凝固时间 t 内导出的总热量：
t
Q 2
d
Q 22A2 b(Ti T20 )
t
0
铸型侧
至凝固结束时刻，铸件放出的总热量（包括潜热L）： Q 1 V 1 1 L C 1 ( T 1 T 0 S )
根据能量守恒定律得：
T T10
铸件侧
Ti
T20
1 2 L b2 T ic1 T T 12 0 0T SV A 1 1
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（二）铸件动态凝固曲线
铸型型腔内各个部位的凝固状况的动态变化，可通过在 浇注前在铸型型腔内预置测温热电偶，来记录凝固过程中 各点的温度变化，从而可以绘制出各个瞬间铸型内的凝固 状况。所得图形称为铸件动态凝固曲线。
可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的横向距离 直观地得出铸件内各部位的开始凝固时刻与凝固结束时刻， 也可以根据“液相边界”与“固相边界”之间的纵向距离 得出凝固过程中的任一时刻铸件断面上已凝固固相区、固 液两相区和尚未凝固的液相区的宽度。
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第二节 铸件凝固温度场的解析解法
一、半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场
二、铸件凝固时间计算 三、界面热阻与实际凝固温度场 四、铸件凝固方式及其影响因素
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一、半无限大平板铸件凝固过程的 一维不稳定温度场
铸型
已凝固铸件
剩余 液相
铸型 λ2 c2 ρ2
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二、热传导过程的偏微分方程
三维傅里叶热传导微分方程为：
式中:
T t c
x 2T 2 y 2T 2 z 2T 2 a 2T
a —— 导温系数，
a
c
；
2 —— 拉普拉斯运算符号。
二维传热：
T t
ax2T2
y2T2
一维传热：
T a 2T
t
x 2
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对于大平板铸件，凝固层厚度 ξ与凝固层体积 V1 、铸件 与铸型间接触面积 A1 三者间满足关系式：
V1
A1
K
2b2Ti T20
令
1Lc1T 10TS
（K — 凝固系数，与铸件与铸型材料有关，可由试验 测定，见表2-3 ）
得：
K
或：
2
K2
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将式（2-24）中的V1与A1推广理解为一般形 状铸件的体积与表面积，并令：
x a
t
erf（x）为高斯误差函数，其计算式为：
erf2xat
2
x
2 ate2d
0
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代入铸件（型）的边界条件得：
T1Ti
T10Tier f2
x a1t
T2
Ti
Ti
T20er f2
x a2t
由在界面处热流的连续性条件可得：
Ti
b1T10b2T20 b1 b2
若建立与热源移动速度相 同并取热源作用点为坐标原点 的动坐标系，则动坐标系中各 点的温度不随时间而变。
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焊接温度场的数学表达式： T = f ( x , y , z , t )
为了研究方便，一般按照焊件的几何特征将焊件温度场简 化为三种类型见下图。
无限大薄板，线状热源
半无限大物体，点状热源
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根据铸件、铸型的热物理性能与界面状况，铸件凝 固过程温度场的分布特点可分为四种情况来讨论：
1. 金属铸件与绝热型铸型 2. 界面热阻较大的金属铸型 3. 界面热阻很小的金属铸型 4. 非金属铸件与金属铸型
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四、铸件凝固方式及其影响因素
（一） 铸件凝固方式分类 （二） 铸件动态凝固曲线 （三） 铸件凝固方式的影响因素
1
r=0
快可。以其比次较三是种薄情板况， 0
R=0 t
而下细焊杆件的的温散度热变速化
图2-17 三种情况下热源直接作用
部位的温度随时间的变化曲线
度速最率慢。。
1—厚大件 2—薄板 3—细杆
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温度场的计算结果
异种钢接头的有限元模型
第二章 凝固温度场
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第二章 凝固温度场
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1600
温度场
温度场
温度场
温度场
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1
第一节 传热基本原理 第二节 铸件凝固温度场的解析解法 第三节 熔焊过程温度场
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第一节 传热基本原理
一、温度场基本概念 二、热传导过程的偏微分方程 三、凝固温度场的求解方法
第二章 凝固温度场
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一、温度场基本概念
不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并
适合实际情况，这就使解的精确程度受到不同程度的影响。 目前，只有简单的一维温度场（“半无限大”平板、圆柱 体、球体）才可能获得解析解。
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（二） 数值方法
数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解 数学模型的近似解（数值解），又称为数值模拟或 计算机模拟。
差有分限法元: 法差:分有法限是元把法原是来根求据解变物分体原内理随来空求间解、热时传间导连问续题分