绝对值三角不等式及其应用

探究提证高明含有绝对值的不等式，其思路有 两种：（1）恰当运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条 件；（2）把含有绝对值的不等式等价转化为不含 绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法 进行证明.
例4 设f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，总有 |f(x)|≤1,求证：|f（2）|≤8. 证明 方法一 ∵当|x|≤1时,|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，即|c|≤1. 又|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1， ∴|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1. 又∵|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| ≥|a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|≤4， ∴|a|≤2.
求 证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.
所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε.
例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点 施工,这两个地点分别位于公路路牌的第10km和 第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同 临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点 之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程 之和最小,生活区应该建于何处?
绝对值三角不等式
一、复习回顾
a, a 0 |a|= 0, a 0
a, a 0
|a| A
O
a
x
几何意义: 表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
绝对值的性质:
① a a2 ② ab a b , a a ,……
bb
关于绝对值还有什么性质呢?
探究：列举大量具体实数a、b、c；猜想 a b 与 a b 之间的关系。并表示这种关系。
【例3】已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的 定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|≤M; (2)证明: M 1 ; 2 (2)当 M 1 时，试求出f（x）的解析式. 2 思维启迪 由|f(x)|在［-1，1］上的最大值为M 建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥ |f（-1）|是解决问题的关键.
∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）| ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2， ∴|b|≤1， ∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| ≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8， 即|f（2）|≤8. 方法二 ∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，| f（1）| ≤1，|f（-1）|≤1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知
| a b | (a b)2 a2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2
| a |2 2 | a || b | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2
(| a | | b |)2
(| a | | b |)2
| a | | b |
定理2 如果a, b, c是实数，那么
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
绝对值三角不等式的应用
例1 已知ε> 0,|x - a|<ε,|y - b|<ε,
a f (1) f (1) 2 f (0) , 2
b f (1) f (1) ,c f (0). 2
∴f（2）=|4a+2b+c| =|2f(1)+2f(-1)-4f(0)+f(1)-f(-1)+f(0)| =|3f(1)+f(-1)-3f(0)| ≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)| ≤3×1+1×1+3×1=7≤8.
ab
推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 an ≤ a1 a2 an .
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一 下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？
|a-b|≤|a|+|b|,
|a|-|b|≤|a+b|,
什么时候等号成立？
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
| a | | b |
源自文库
综合10,20知定理成立.
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
ab b
a
ab
2
（3）解 当M 1时,| f (0) || b | 1 ,
2
2
1 b 1 22
①
同理 1 1 a b 1
②
2
2
1 1a b 1
③
2
2
② ③得 3 b 1
④
2
2
由①④得b 1 , 2
当b
1 时, 2
分别代入②③得01aa1
0
a
0,
因此f (x) x2 1 . 2
猜想： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
20. 当ab<0时,
ab | ab |,
ab | ab |,
| a b | (a b)2 a2 2ab b2
分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个 施工队每天往返的路程之和为S(x) km.
那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
故实际问题转化为数学问题: 当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值. 解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个 施工队每天往返的路程之和为S(x) km,则:
S 60
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| 40
|(x-10)+(20-x)|=10
当且仅当(x-10)(20-x)0时 20
取等号.
x O 10 20 30
又解不等式: (x-10)(20-x)0 得: 10x20
故当10x20时, 函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取 最小值20.
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像:
60-4x
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=
S 60
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
20 4x-60
40
20
x O 10 20 30
0<x10 10<x20
x>20
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
（1）证明 ∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|， M≥|f（1）|=|1+a+b|， 2M≥|1-a+b|+|1+a+b| ≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|， ∴M≥|1+b|. （2）证明 依题意，M≥|f（-1）|， M≥|f（0）|，M≥|f（1）|， 又f（-1）=|1-a+b|， |f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|， ∴4M≥|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）| =|1-a+b|+2|b|+|1+a+b| ≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2， M 1.