倒立摆机器人系统的数学模型描述

倒立摆机器人的模型

倒立摆动力学模型示意图如图1.1所示。

图1.1倒立摆动力学模型示意图

表1.1 参数说明

参数名称

参数定义

1l 主动臂的长度

1c l

主动臂相对于连接点到质心的距离

2c l 欠驱动臂相对于连接点到质心的距离

1q

主动臂相对于坐标轴的角度

2q 欠驱动臂相对于主动臂的角度

1I 主动臂相对于质心转动惯量

2I 欠驱动臂相对于质心转动惯量

1m 主动臂质量

2m 欠驱动臂质量

g

重力加速度

拉格朗日动力学方程

拉格朗日方程以广义坐标为自变量，通过拉格朗日函数来表示。拉格朗日体系分析力学处理问题时以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统，着眼于能量概念。对于机械系统，其拉格朗日函数都可以定义成该系统动能

k E 和势能p E 之差，即：

k p

L E E =-

(1.1)

系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。系统的动力学方程（第

二类拉格朗日方程）为：

d L L

dt q

q τ∂∂=

-∂∂ (1.2)

由于势能不含速度项，因此动力学方程也可以写成：

p

k k E E E d dt q q q

τ∂∂∂=-+

∂∂∂ (1.3)

由此可见，对于Pendubot 系统，其拉格朗日运动方程则为：

()()()1,,[ 0]()()()1,2T i i i d K q q K q q P q dt q q q

i τ∂∂∂

-+=∂∂=∂

(1.4)

其中，(),K q q

为Pendubot 系统的动能之和，()P q 为Pendubot 系统的势能总和。摆臂受到的力矩为τ，只有摆臂与电机相连接的主动关节受力，而另一个关节是欠驱动的。由于两杆均为刚体，所以摆臂的动能与势能可根据每一根杆的总质量与相对于重心的惯量来唯一确定。

欠驱动机械臂动力学模型

根据式(1.4)，分析Pendubot 摆臂的动能和势能。计算平移动能的一般表达

式为2

2

mv K =。由上图可知，系统两个摆臂的角速度可以表示为：

11212ωωq

q q ==+ ， (1.5)

对于系统的主动臂，其平移动能可以直接描述成以下形式：

2211111

2

c K m l q =

(1.6)

由于系统的势能大小与机械臂的质心位置有关系，这里可以用y 坐标来表示摆臂的其位置高度，于是势能可以直接描述为：

1111 sin()c P m l g q =

(1.7)

对于系统的欠驱动臂，要先得到其质心位置的笛卡儿坐标表达式，然后通过微分处理得到关节角速度。其中，欠驱动臂的质心位置用下式来表示：

211212211212cos()cos()sin()sin()

c c x l q l q q y l q l q q =++=++ (1.8)

那么，通过对该位置进行微分处理，即可得到其速度的笛卡儿坐标分量为：

()()()()()211121************sin sin ()cos cos c c x

l q q l q q q q y

l q q l q q q q =--++=+++ (1.9)

于是可得欠驱动臂在x 和y 方向上速度分量的平方和为：

()()2

2222222

112121212211222cos ()c c v l q l q q q q l l q q q q =+++++ (1.10)

因此，系统欠驱动臂的平移动能可以表示为：

()()()22

2222221121212122112122cos 2

c c K m l q l q q q q l l q q q q =

++⎡⎣+⎤+⎦+ (1.11)

由于摆臂长度是已知的，可以得到欠驱动臂的势能为：

()()2211212sin sin c P m g l q l q q =++⎡⎤⎣⎦

(1.12)

同时，由于Pendubot 系统运动的特殊性，这里注意到系统的动能组成中，除了常规的平移动能外，还存在旋转动能部分，那么根据式(1.6)可以得到系统的旋转动能为：

[]122112122

22101111001122T v I I

I q K Q I I Q q q

I I q +⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎡⎤=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎩⎭ (1.13)

根据式(1.1)给出的拉格朗日算子的描述方法，可以由上述系统动能和势能的关系得到Pendubot 系统的拉格朗日算子，表示为：

1212v L K P K K K P P =-=++--

(1.14)

为了得到系统的动力学方程，根据式错误！未找到引用源。，对上式

错误！未找到引用源。做关于1q 和1q

的微分处理，可得： ()()()(){

}

(){}

()22211121122122122112122211222222

1121212212112

2

2

2

1222221222111

)2cos cos 2cos cos sin (c c c c c c c c c c c L

m l m l m l m l l q m l l q I I I d L m l m l l l l q I I dt m l

l l q I m l l q L

m q

q q q q q

q

q q q l q

q q q ∂=++++∂++++∂⎡⎤=+++++⎣⎦∂⎡⎤+++-⎣⎦

∂=-∂ ()()2112212cos sin()c m l g q m l g q q +-+ (1.15)

由以上的各微分项，根据第二类拉格朗日方程，本文可以直接得到系统中主动臂的关节力矩表达式为