《二次函数》单元复习

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【分析】（1）令y=0得到关于x的方程，找出相应的a，b 及c的值，表示出b2﹣4ac，整理配方后，根据完全平方 式大于等于0，判断出b2﹣4ac大于等于0，可得出抛物线 与x轴总有交点，得证； （2）由抛物线与y轴交于（0，3），将x=0，y=3代入抛 物线解析式，求出m的值，进而确定出抛物线解析式，配 方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表 格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出 7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象，如图所示 ； （3）由图象可得出不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＞3的解集.
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【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）通过解方程﹣x2+2x+3=0可得抛物线与x轴两交点坐 标，从而得到二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标； （3）观察函数图象，写出函数图象在x轴上方所对应的自 变量的取值范围和在x轴下方所对应的自变量的取值范围 即可. 【解答】解：（1）把（﹣1，0）、（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c得 ，解得b=2，c=3， 所以二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3； （2）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， 所以抛物线与x轴两交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 即二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）； （3）当﹣1＜x＜3时，y＞0； 当x＜﹣1或x＞3时，y＜0.
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4.（2015牡丹江）抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4 个单位长度后的函数解析式为（ C ） A.y=3x2+2x﹣5 B.y=3x2+2x﹣4 C.y=3x2+2x+3 D.y=3x2+2x+4 5.（2015温州模拟）若二次函数y=2x2的图象经 过点P（1，a），则a的值为（ C ） A. B.1 C.2 D.4 6.（2015长宁区一模）某企业今年第一月新产品 的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发 资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三 月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式 为y= 100（1+x）2 .
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例1（孝南月考）已知二次函数y=2x2﹣3，若当x取x1，x2 （x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值 为 ﹣3 . 【分析】根据题意可得出2x12﹣3=2x22﹣3，从而得出x1 ，x2的关系，再把x=x1+x2代入即可得出答案. 【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣3，若当x取x1，x2（ x1≠x2）时，函数值相等， ∴2x12﹣3=2x22﹣3， ∴x12=x22， ∴x1=x2或x1=﹣x2， ∵x1≠x2， ∴x1=﹣x2， ∴y=2（x1+x2）2﹣3=﹣3， 故答案为﹣3.
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1.（随州月考）已知二次函数y=2x2﹣3的图象经过 （x1，5），（x2，5）（x1≠x2），则当x取 （x1+x2）时 ，函数值为 ﹣3 . 【分析】先确定抛物线的对称轴为y轴，再利用点（x1 ，5），（x2，5）（x1≠x2）的特征得到它们为对称点 ，所以x1=﹣x2，然后计算x= （x1+x2）=0时的函数值即 可. 【解答】解：∵函数y=2x2﹣3的图象的对称轴为y轴， 而图象过点（x1，5），（x2，5）（x1≠x2）， ∴x1=﹣x2， ∴当x= （x1+x2）=0，y=﹣3. 故答案为﹣3.
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描点； 画图如下：
（3）解：由图象可得不等式﹣x2+（m﹣1）x+m＞3的解 集是0＜x＜2， 故答案为0＜x＜2.
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例3：某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票 窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从 上午7点开放，某日从上午7点到10点，每个普通售票窗 口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的变化趋 势如图1，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售 票时间x（小时）的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的 一部分，如图2，若该日截至上午9点，每个普通售票窗 口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同.
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例2. 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图，它与x轴的一 个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）. （1）求此二次函数的解析式； （2）求二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标； （3）根据图象，写出函数值y为正数时， 自变量x的取值范围；函数值y为负数时， 自变量x的取值范围.
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3.已知二次函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m. （1）证明：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点 （2）若该函数的图象与y轴交点于（0，3），求出顶点坐 标并画出该函数； （3）在（2）的条件下，观察图象，不等式﹣x2+（m﹣1） 0 ＜x ＜2 x+m＞3的解集是 .
第二章 二次函数
第13课时 《二次函数》单元复习
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关键视点 1.（2015北京校级期中）下列函数中①y=3x+1； ②y=4x2﹣3x；③y= +x2；④y=5﹣2x2，是二次 函数的有（ D ） A.② B.②③④ C.②③ D.②④ 2.（2015甘孜州）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的 对称轴为（ D ） A.x=4 B.x=﹣4 C.x=2 D.x=﹣2 3.抛物线y=﹣x2﹣2x+3与坐标轴的交点个数是 （ D ） A.0 B.1 C.2 D.3
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【解答】（1）证明：令y=0， 得到﹣x2+（m﹣1）x+m=0， ∵a=﹣1，b=m﹣1，c=m， ∴b2﹣4ac=（m﹣1）2+4m=（m+1）2， 又（m+1）2≥0，即b2﹣4ac≥0， ∴方程y=﹣x2+（m﹣1）x+m有实数根， 则该函数图象与x轴总有公共点； （2）解：∵该函数的图象与y轴交于点（0，3）， ∴把x=0，y=3代入解析式得m=3， ∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）； 列表如下：