过程控制第4章被控对象数学模型
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被控对象
通道：对象的输入变量至输出变量的信号联系
干扰变量
干扰通道
被控变量
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系通道
控制变量 控制通道
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道
对象输出为控制通道输出与各干扰通道输出之和
对象的数学模型：稳态数学模型和动态数学模型。
稳态数学模型——描述对象的输入量与输出量之间的稳态关系
定值控制系统、程序控制系统、随动系统（伺服控制系统） 线性系统和非线性系统 连续系统与离散系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统
被控对象：需要控制的设备、机械或生产过程。
数学模型（对象特性）：对象输入量与输出量之间的关系(数学表达式) 输入量：控制变量＋各种各样的干扰变量
输出量：被控变量
过程控制
第四章 被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
目
录
4.2 被控对象数学模型的建立 4.3 机理法建立被控对象的数学模型
4.4 实验法建立被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学 语言对被控对象的数学模型特性进行描述。
数学模型的分类:
· 二阶线性对象（总结）
典型的微分方程：
d 2 h2 dh T1T2 (T1 T2 ) 2 h2 K qi dt 2 dt
典型的传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
②④代入③得：
h1 h2 h2 dh C2 2 R1 R2 dt
d 2 h2 dh2 R1C1 R2C2 ( R1C1 R2Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R2C1 ) h2 R2 q1 dt 2 dt H 2 (s) R2 Q1 ( s) R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R2C1 )s 1
T小，响应速度快，控制及时，T太小易引起振荡。
2．无自平衡单容过程
受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠 被控过程自身能力不能重新回到平衡状态。
dh Q1 Q2 C dt
因为ΔQ2=0，则可得：
dh C Q1 dt
G( s) H ( s) 1 Q1 ( s) Cs
V Ch
dh q q C i o dt
h qo R
由于出口流量可以近似地表示为：
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
消去qo： qi
h dh C R dt
RC
dh h R qi dt
dh h K qi dt
令T RC、K R T
Qi (s) a s
阶跃响应函数：
h2 (t ) L1[ H 2 ( s )] L1[
1
Ka ] s (T1s 1)(T2 s 1)
T12 T22 1 1 1 L [ Ka ( )] s T2 T1 T1s 1 T2 T1 T2 s 1
T1 T2 T1 Ka[1 e e T2 ] T2 T1 T2 T1 t t
1 Ts
令：T=C（积分时间常数）
G( s)
H ( s) 1 Q1 ( s) Ts
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
当过程具有纯滞后时：
自平衡过程：
G(s)
H ( s) K e s Q1 ( s) Ts 1
τ：过程的纯滞后时间
无自平衡过程： G( s) H ( s) 1 e s
q0 H / R
1、自平衡单容过程（一阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
q0
C
R
h
已知： 该对象的输入量为qi 解： 根据物料平衡方程： 单位时间流入水槽的物料 — 单位时间流出水槽的物料 ＝水槽物料储藏量的变化率 输出量（被控变量）为液位h
dV q q i o dt
h(0) Ka (1 e ) 0
0 T
t T
典型的阶跃响应曲线 qi
a
微分方程的解
h() Ka (1 e
T
) Ka
h(T ) Ka (1 e 1 ) 0.632h()
K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值 时，输出变化量与输入变化量之比，表征对象的稳态特性。
dh T h K qi dt
TsH (s) H (s) K Qi (s)
对上式作拉氏变换：
一阶对象的传递函数：
H (s) K Qi (s) Ts 1
如果qi为幅值为a的阶跃响应，则
该对象的阶跃响应：
Qi (s)
K Ka H (s) Qi (s) Ts 1 s(Ts 1) Ka h(t ) L1[ H ( s)] L1[ ] L1[ Ka KaT ] s(Ts 1) s Ts 1
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m)
通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。 非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。例如“阶跃响应曲线、脉冲响应曲
线等。
优点：形象、清晰、定性。 缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处理获得参量模型）。
1、阶跃反应曲线法
测量对象在阶跃输入信
Q1
Q1
号作用下，输出量随时 间的变化规律。
t0
h
h Q2
t
优点：方法简单。不需
t0 水槽对象及其阶跃响应曲线
t
要特殊的信号发生器； 一般也不需要增加特殊 的记录仪表。测量工作 量不大，数据处理也较 方便。
缺点：精度较差。对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定
Q1 ( s) Ts
带纯滞后的自平衡过程的阶跃响应：
K s G(s) e Ts 1
3、多容过程（二阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型） 已知： 该对象的输入量为qi 输出量为液位h2
qi
h1
C1
R1
q1
（同样利用物料平衡方程）
dh qi q1 C1 1 槽1： dt
动态数学模型——描述对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。 数学模型的表示方法：
参量模型：通过数学方程式表示 常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等
参量模型的微分方程的一般表达式：
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1 x(t ) b0 x(t )
d 2 h2 dh T1T2 (T1 T2 ) 2 h2 K qi dt 2 dt
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
建模目的：
设计过程控制方案（被控变量及检测点选择，控制 变量的确定，控制结构形式都与对象特性有关） 整定控制器参数（控制规律的选择） 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 培训系统运行操作人员
4.2被控对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模
机理建模：内部机理→平衡方程（物料平衡、能量平衡、化学反应等基本方程） →数学模型 优点：明确的物理意义 缺点：只能用于简单、线性过程，需试验验证。 实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个输入作用(输入量) ，然后用 仪表记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律，得到一系列实验数据 或曲线。这些数据或曲线就可以用来表示对象特性。 这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 系统辨识分为：过程辨识和参数辨识。有时，为进一步分析对象特性，可对这些数 据或曲线进行处理，使其转化为描述对象特性的解析表达式。 混合建模——将机理建模与实验建模结合起来 机理分析（数学模型的结构）→实验的方法（某些未知的或不确定的参数， 即参数估计）。
4.4 实验法建立被控对象的数学模型
在工业生产过程中，对象特性往往比较复杂，很难得到对象特性的
数学描述；即使得到也是高阶微分方程或偏微分方程，难以求解 ， 因此常用实验方法来分析对象特性。
所谓实验测取对象特性，
就是在所研究的对象上施加人为输入作用(输入量)， 用仪表测取并记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律， 得到一系列实验数据或曲线(非参量模型)， 有时再加以必要的数据处理（得到参量模型）。通常称为系统辨识。 实验方法主有以下几种： 1、加专门信号 ① 时域方法 例如：阶跃反应曲线法、矩形脉冲法 ② 频域方法 例如：正弦波、梯形波 ③ 统计相关法 （施加随机信号） 例如：白噪声 2、不加专门信号：正常操作时记录信号
t
h(t)
0.632h()
K越大，表示输入量对输出量的影响越大。 T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变
h()
化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化
快慢或响应滞后的重要参数，表征对象的动态特性。用T 表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。
T
T大，响应速度慢，控制不及时；
q2 h1 h2 R1
）
解：
q1 q2 C1
q2
dh1 dt
① ② ③ ④
h1 h2 R1
q2 q3 C2
dh2 dt
q3
h dh q2 2 C2 2 ③④得： R2 dt
h2 R2
代入①：
q1 (
h2 dh dh C2 2 ) C1 1 R2 dt dt
T1 T2 T1 h2 (t ) Ka[1 e e T2 ] T2 T1 T2 T1 t t
典型的阶跃响应函数： 典型的阶跃响应曲线:
h2 (t )
qi
a
t
例题：试分析下图所示串联液体贮槽对象的动态特性，写出以q1的变化量为输 入、液位h2的变化量为输出的微分方程式及传递函数表达式。图中，C1、C2分 别为贮槽1及贮槽2的截面积，阀门的阻力系数分别为R1、R2。 （提示：
槽2：
h (q1 1 ) R1
h2
C2
R2
qo
q1 qo C2
dh2 dt
(qo
h2 ) R2
d 2 h2 dh2 ( R1C1 R2C2 ) h2 R2 qi 联立方程求解： R1C1 R2C2 dt 2 dt 令：T1 R1C1 T2 R2C2 K R2
t 1 T Ka * L [( )] Ka(1 e T ) s Ts 1
1
a s
一阶线性对象（总结）
典型的微分方程 典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi qi
q0
q0
图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高 根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关） 因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是“无自衡能力”。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
一般所需时间较长，受其它扰动因素影响，精度受到限制；若 加大阶跃信号幅值，又会影响正常的生产。阶跃信号一般取额 定值的5%~15%。
测试过程注意： 1、加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果 2、合理选择阶跃信号值（一般阶跃变化在正常输入信号最大幅值的 5％～15％之间，大多取10％）
通道：对象的输入变量至输出变量的信号联系
干扰变量
干扰通道
被控变量
控制通道：控制变量至被控变量的信号联系通道
控制变量 控制通道
干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道
对象输出为控制通道输出与各干扰通道输出之和
对象的数学模型：稳态数学模型和动态数学模型。
稳态数学模型——描述对象的输入量与输出量之间的稳态关系
定值控制系统、程序控制系统、随动系统（伺服控制系统） 线性系统和非线性系统 连续系统与离散系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统
被控对象：需要控制的设备、机械或生产过程。
数学模型（对象特性）：对象输入量与输出量之间的关系(数学表达式) 输入量：控制变量＋各种各样的干扰变量
输出量：被控变量
过程控制
第四章 被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
目
录
4.2 被控对象数学模型的建立 4.3 机理法建立被控对象的数学模型
4.4 实验法建立被控对象的数学模型
4.1 被控对象的数学模型
要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学 语言对被控对象的数学模型特性进行描述。
数学模型的分类:
· 二阶线性对象（总结）
典型的微分方程：
d 2 h2 dh T1T2 (T1 T2 ) 2 h2 K qi dt 2 dt
典型的传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
②④代入③得：
h1 h2 h2 dh C2 2 R1 R2 dt
d 2 h2 dh2 R1C1 R2C2 ( R1C1 R2Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ R2C1 ) h2 R2 q1 dt 2 dt H 2 (s) R2 Q1 ( s) R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R2C1 )s 1
T小，响应速度快，控制及时，T太小易引起振荡。
2．无自平衡单容过程
受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠 被控过程自身能力不能重新回到平衡状态。
dh Q1 Q2 C dt
因为ΔQ2=0，则可得：
dh C Q1 dt
G( s) H ( s) 1 Q1 ( s) Cs
V Ch
dh q q C i o dt
h qo R
由于出口流量可以近似地表示为：
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
消去qo： qi
h dh C R dt
RC
dh h R qi dt
dh h K qi dt
令T RC、K R T
Qi (s) a s
阶跃响应函数：
h2 (t ) L1[ H 2 ( s )] L1[
1
Ka ] s (T1s 1)(T2 s 1)
T12 T22 1 1 1 L [ Ka ( )] s T2 T1 T1s 1 T2 T1 T2 s 1
T1 T2 T1 Ka[1 e e T2 ] T2 T1 T2 T1 t t
1 Ts
令：T=C（积分时间常数）
G( s)
H ( s) 1 Q1 ( s) Ts
无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。
当过程具有纯滞后时：
自平衡过程：
G(s)
H ( s) K e s Q1 ( s) Ts 1
τ：过程的纯滞后时间
无自平衡过程： G( s) H ( s) 1 e s
q0 H / R
1、自平衡单容过程（一阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）
qi
q0
C
R
h
已知： 该对象的输入量为qi 解： 根据物料平衡方程： 单位时间流入水槽的物料 — 单位时间流出水槽的物料 ＝水槽物料储藏量的变化率 输出量（被控变量）为液位h
dV q q i o dt
h(0) Ka (1 e ) 0
0 T
t T
典型的阶跃响应曲线 qi
a
微分方程的解
h() Ka (1 e
T
) Ka
h(T ) Ka (1 e 1 ) 0.632h()
K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值 时，输出变化量与输入变化量之比，表征对象的稳态特性。
dh T h K qi dt
TsH (s) H (s) K Qi (s)
对上式作拉氏变换：
一阶对象的传递函数：
H (s) K Qi (s) Ts 1
如果qi为幅值为a的阶跃响应，则
该对象的阶跃响应：
Qi (s)
K Ka H (s) Qi (s) Ts 1 s(Ts 1) Ka h(t ) L1[ H ( s)] L1[ ] L1[ Ka KaT ] s(Ts 1) s Ts 1
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m)
通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。 非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。例如“阶跃响应曲线、脉冲响应曲
线等。
优点：形象、清晰、定性。 缺点：直接利用来分析系统较困难（必要时须进行数学处理获得参量模型）。
1、阶跃反应曲线法
测量对象在阶跃输入信
Q1
Q1
号作用下，输出量随时 间的变化规律。
t0
h
h Q2
t
优点：方法简单。不需
t0 水槽对象及其阶跃响应曲线
t
要特殊的信号发生器； 一般也不需要增加特殊 的记录仪表。测量工作 量不大，数据处理也较 方便。
缺点：精度较差。对象在阶跃信号作用下，从不稳定到稳定
Q1 ( s) Ts
带纯滞后的自平衡过程的阶跃响应：
K s G(s) e Ts 1
3、多容过程（二阶线性对象）
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型） 已知： 该对象的输入量为qi 输出量为液位h2
qi
h1
C1
R1
q1
（同样利用物料平衡方程）
dh qi q1 C1 1 槽1： dt
动态数学模型——描述对象在输入量改变以后输出量的变化情况。
稳态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。 数学模型的表示方法：
参量模型：通过数学方程式表示 常用的描述形式：微分方程、传递函数、差分方程等
参量模型的微分方程的一般表达式：
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y(t ) a0 y(t ) bm x( m) (t ) b1 x(t ) b0 x(t )
d 2 h2 dh T1T2 (T1 T2 ) 2 h2 K qi dt 2 dt
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
传递函数：
H 2 ( s) K K Qi ( s) T1T2 s 2 (T1 T2 )s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
建模目的：
设计过程控制方案（被控变量及检测点选择，控制 变量的确定，控制结构形式都与对象特性有关） 整定控制器参数（控制规律的选择） 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 培训系统运行操作人员
4.2被控对象数学模型的建立
建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模
机理建模：内部机理→平衡方程（物料平衡、能量平衡、化学反应等基本方程） →数学模型 优点：明确的物理意义 缺点：只能用于简单、线性过程，需试验验证。 实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个输入作用(输入量) ，然后用 仪表记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律，得到一系列实验数据 或曲线。这些数据或曲线就可以用来表示对象特性。 这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。 系统辨识分为：过程辨识和参数辨识。有时，为进一步分析对象特性，可对这些数 据或曲线进行处理，使其转化为描述对象特性的解析表达式。 混合建模——将机理建模与实验建模结合起来 机理分析（数学模型的结构）→实验的方法（某些未知的或不确定的参数， 即参数估计）。
4.4 实验法建立被控对象的数学模型
在工业生产过程中，对象特性往往比较复杂，很难得到对象特性的
数学描述；即使得到也是高阶微分方程或偏微分方程，难以求解 ， 因此常用实验方法来分析对象特性。
所谓实验测取对象特性，
就是在所研究的对象上施加人为输入作用(输入量)， 用仪表测取并记录表征对象特性的物理量(输出量)随时间变化的规律， 得到一系列实验数据或曲线(非参量模型)， 有时再加以必要的数据处理（得到参量模型）。通常称为系统辨识。 实验方法主有以下几种： 1、加专门信号 ① 时域方法 例如：阶跃反应曲线法、矩形脉冲法 ② 频域方法 例如：正弦波、梯形波 ③ 统计相关法 （施加随机信号） 例如：白噪声 2、不加专门信号：正常操作时记录信号
t
h(t)
0.632h()
K越大，表示输入量对输出量的影响越大。 T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态变
h()
化量的63.2％所需要的时间，时间常数T是反映响应变化
快慢或响应滞后的重要参数，表征对象的动态特性。用T 表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后）。
T
T大，响应速度慢，控制不及时；
q2 h1 h2 R1
）
解：
q1 q2 C1
q2
dh1 dt
① ② ③ ④
h1 h2 R1
q2 q3 C2
dh2 dt
q3
h dh q2 2 C2 2 ③④得： R2 dt
h2 R2
代入①：
q1 (
h2 dh dh C2 2 ) C1 1 R2 dt dt
T1 T2 T1 h2 (t ) Ka[1 e e T2 ] T2 T1 T2 T1 t t
典型的阶跃响应函数： 典型的阶跃响应曲线:
h2 (t )
qi
a
t
例题：试分析下图所示串联液体贮槽对象的动态特性，写出以q1的变化量为输 入、液位h2的变化量为输出的微分方程式及传递函数表达式。图中，C1、C2分 别为贮槽1及贮槽2的截面积，阀门的阻力系数分别为R1、R2。 （提示：
槽2：
h (q1 1 ) R1
h2
C2
R2
qo
q1 qo C2
dh2 dt
(qo
h2 ) R2
d 2 h2 dh2 ( R1C1 R2C2 ) h2 R2 qi 联立方程求解： R1C1 R2C2 dt 2 dt 令：T1 R1C1 T2 R2C2 K R2
t 1 T Ka * L [( )] Ka(1 e T ) s Ts 1
1
a s
一阶线性对象（总结）
典型的微分方程 典型的传递函数 典型的阶跃响应函数
dh T h K qi dt
H (s) K Qi (s) Ts 1
h(t ) Ka(1 e )
4.3 机理法建立被控对象的数学模型
问题：处于平衡状态的对象加入干扰以后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？
qi qi
q0
q0
图：假设初始为平衡状态qi=qo，水箱水位保持不变。 当发生变化时(qi＞qo)，此时水箱的水位开始升高 根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关） 因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如 果qi＞qo ，水位H将不断上升，直至溢出，可见该系统是“无自衡能力”。 绝大多数对象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制。
一般所需时间较长，受其它扰动因素影响，精度受到限制；若 加大阶跃信号幅值，又会影响正常的生产。阶跃信号一般取额 定值的5%~15%。
测试过程注意： 1、加测试信号前，要求系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果 2、合理选择阶跃信号值（一般阶跃变化在正常输入信号最大幅值的 5％～15％之间，大多取10％）