第五章弹塑性力学问题的提法详解

分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法 叫混合法。
三类边值问题
第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在
平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的 问题。
第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各
点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内 部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。
第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面
力，其余部分给定位移(或在部分表面上给定外力和位移 关系)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。
5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性
1．位移法：
本构方程
x
2G
u x
e 1 2
,
y
2G
y
e 1 2
,
z
2G
w z
e 1 2
,
平衡方程
xy
G
弹性力学的解不仅存在，而且在小变形条件下，对 于受一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一 的。
弹塑性力学的基本解法
在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：
1．位移法：用位移作为基本未知量，来求解边值问题的
方法，称为位移法。
2．应力法：用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。 3．混合法：对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移
协调方程：2 x
1 1
2 x 2
1
Fbx x
Fby y
Fbz z
2
Fbx x
2 y
1 1
2 y 2
1
Fbx x
Fby y
Fbz z
2
Fby x
2 z
1 1
2 z 2
1
Fbx x
Fby y
Fbz z
2
Fbz x
2 xy
1 1
2 xy
Fby x
Fbx y
2 yz
4. 边界条件 应力边界（Sσ上）:
Px 1 x l2 yx l3 zx Py l2 y l3 zy 1 xy Pz l3 z 1 xz l2 yz
张量形式为:
Pi ijn j
位移边界（Su上）:
u u, , w w
张量形式为:
ui ui
5.2 问题的提法
当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题， 共有 3 个平衡微分方程，6 个几何方程和 6 个本构方程， 共计 15 个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有： σij、 εij 、ui 15个基本未知函数。因此，在给定边界条件 时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学 上称为求解边值问题。
deij p
1 2G
dSij
3d
p i
2 i
Sij
全量理论：
ex
i i
[ x
1 2
(
y
z )],
ey
i i
[
y
1 2
( z
x )],
ez
i i
[ z
1 2
( x
y )],
xy
3 i i
xy
yz
3 i i
yz
zx
3 i i
zx
张量形式为:
ij
3 i 2 i
Sij
5.1 基本方程
P P/2
P
A
P
P P/2
P
A
P
A
5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
5.1 基本方程
3. 本构方程
弹性阶段：
x
1 E
[ x
(
y
z )],
y
1 E
[ y
( z
x )],
z
1 E
[ z
( x
y )],
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
或
张量形式为:
5.1 基本方程
3. 本构方程
塑性阶段，应力满足屈服函数 f (σij) =0 的条件下： 增量理论：
1 1
2 yz
Fbz y
Fby z
2 zx
1 1
2 zx
Fbx z
Fbz x
其中 x y z
5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性
3．逆解法与半逆解法：
上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的建 立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上 述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解题 方法中经常采用如下方法：
（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方 程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。
（2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根 据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条 件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。
5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
1. 问题的提出：
(1) 求解弹性力学问题时，使应力分量、形 P
P
变分量、位移分量完全满足8个基本方程
相对容易，但要使边界条件完全满足， P
往往很困难。
(2) 如图所示，其力的作用点处的边界条
P
件无法列写。
5.4 圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。
第五章
弹塑性力学问题的提法
目录
5.1 基本方程 5.2 问题的提法 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.4 圣维南原理 5.5 叠加原理 5.6 塑性力学问题的提法 5.7 简例
5.1 基本方程
1. 平衡方程
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
d x
1 2G
dS x
3d i 2 i
Sx,
d y
1 2G
dS
y
3d i 2 i
Sy,
d z
1 2G
dS z
3d i 2 i
Sz,
d xy
1 G
d xy
3d i 2 i
xy
d yz
1 G
d yz
3d i 2 i
yz
d zx
1 G
d zx
3d i 2 i
zx
张量形式为:
deij
deije
z
z
Fbz
0
张量形式为: ij, j Fbi 0 (i, j x, y, z)
5.1 基本方程
2. 几何方程
u ， x x
xy
x
u y
， y y
yz
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w y
z
w， z z
xz
u z
w x
张量形式为:
ij
1 2
(ui
,
j
u j,i )
(i, j x, y, z)
u y
x
yz
G
z
w y
zx
G
w x
u z
其中e x y z
(
)
e x
2u
Fbx
0
(
)
e y
2
Fby
0
(
)
e z
2w
Fbz
0
其中e x y z , G
5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性
2．应力法： 利用应力表示的本构方程、平衡方程结合应力表示的
应变协调方程和边界条件求解。