高等代数 第三版§1.3 整除的概念

③ 允许 g ( x ) 0，此时有 0 0h( x ), h( x ) P[ x ]
即 0 0.
00
零多项式整除零多项式，有意义．
区别： 0 除数为零，无意义． ) ④ 当 g( x0 | f ( x ) 时， 如果 g( x ) 0, 则 g ( x ) 除
f ( x) f ( x ) 所得的商可表成 . g( x )
q x g x r x q x g x r x
q x －q x g x ＝r x －r x .
若q x q x ，由g x 0, 有r x －r x 0
6) 整除不变性：
两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．
例3．求实数 m , p, q 满足什么条件时多项式
x 2 mx 1 整除多项式 x 3 px q.
附：整数上的带余除法
对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r， 使 a＝qb＋r，
其中 0 r b .
作业
Higher Algebra
主要内容
一、带余除法
二、整除
一、带余除法
定理
对 f ( x ), g( x ) P[ x ], g( x ) 0, 一定存在 q( x ), r ( x ) P[ x ], 使
f ( x ) q( x ) g ( x ) r ( x )
成立，其中 ( r ( x )) ( g ( x )) 或 r ( x ) 0, 并且这样的 q( x ), r ( x ) 是唯一决定的． 称 q( x ) 为 g ( x ) 除 f ( x ) 的商， r ( x )为 g ( x ) 除 f ( x ) 的余式．
f ( x ) h1 x h2 x f ( x ).
若 f ( x ) 0,

则 g ( x )＝0,
f ( x )＝cg( x )，c P ,c 0
若 f ( x ) 0， 则 h1 x h2 x ＝1
h1 x ＋ h2 x ＝0 h1 x ＝ h2 x ＝0.
b 1ax n m g x 与 f ( x )首项相同， 因而，多项式 则 f1 ( x )= f ( x )- b- 1ax n-m g x
的次数小于n或 f1为0． 若
f1 x = 0,
q( x ) b1ax nm , r ( x ) 0 即可． 令
若 f1 x n, 由归纳假设，存在 q1 ( x ), r1 ( x ) 使得
q x －q x ＋ g x ＝ r x －r x g x max r , r
但 q x －q x ＋ g x g x , 矛盾． 所以 q x q x , 从而 r x =r x .
3) 若 g( x ) | f ( x )，f ( x ) | g ( x ), 则
f ( x )＝cg( x )，c 0.
证： f ( x ) | g( x ) h1 x 使得 g ( x ) f ( x )h1 x ;
g( x ) | f ( x ) h2 x 使得 f ( x ) g ( x )h2 x .
f ( x ) c0 c1 ( x a ) c2 ( x a )2
的形式．
例1 求 g x 除 f x 的商式和余式
f x x x x,
3 2
g x x 1 2i
解: 由
1 2i
１
＋)
－１
1 2i 2i
P44 1. 2) 2. 2) 3. 2) 4. 2)
h1 x , h2 x 皆为非零常数．
故有 f ( x )＝cg( x )，c 0 成立． 4) 若f ( x ) | g ( x )，g ( x ) | h( x )，则f ( x ) | h x （整除关系的传递性）
5) 若 f ( x ) | gi ( x )，i = 1,2,, r 则对 ui ( x ) P[ x ], i = 1,2,, r 有
2．整除的判定
定理1 f ( x ), g( x ) P[ x ], g( x ) 0,
g( x ) | f ( x ) g( x ) 除 f ( x ) 的余式 r x 0.
3．整除的性质
1) 对 f ( x ) P[ x ], 有 f ( x ) | f ( x ),
唯一性得证．
附： 综合除法
f ( x ) a0 x n + a1 x n-1 + + an , 则 x a 除 f ( x ) 若 q( x ) b0 x n1 bn1 和余式 r 的商式
可按下列计算格式求得：
a
a0
＋)
a1 ab0 b1
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an1 abn 2 bn1 r
第一章 多项式
多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。 §1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
－１
4 2i 5 2i
０
9 8i 9 8i
１ 有
f ( x ) g( x ) x 2 2ix 5 2i 9 8i .


f ( x ) x 5 表成 x 1的方幂和． 例２. 把 解: ∵ １ 1 ０ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １= c0 2 3 4 １ 2 3 4 5= c1 １ １ 1 3 6 3 6 10= c2 １ １ 1 4 4 10= c3 １ １ 1 1 5= x 5 ( x 1)5 5( xc4 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2
f ( x ) | ( u1 x g1 ( x ) u2 ( x ) g2 ( x ) ur ( x ) gr ( x ))
注：反之不然．如
u1 x 2,
f ( x ) 3 x 2,
g1 ( x ) x 2 1, g2 ( x ) 2 x 3,
f1 x q1 x g x r1 x
其中 r1 x < g( x ) 或者 r1 ( x ) 0. 于是
f x b 1ax n m q1 x g x r1 x .


q( x ) b 1ax n m q1 x , r x r1 x 使 即有
f ( x ) q( x ) g ( x ) r ( x ),
成立．
由归纳法原理，对 f ( x ), g ( x ) 0, q( x ), r ( x ) 的存在性得证．
再证唯一性． 若同时有 f x q x g x r x , 其中 r x g x 或r x ＝0. 和 f x q x g x r x , 其中 r x g x 或r x ＝0. 则 即
f ( x ) q( x ) g( x ) r ( x ),
下面讨论 n m 的情形，
结论成立． 对 n 作数学归纳法．
次数为０时结论显然成立． 假设对次数小于n的 f ( x ) ，结论已成立．
现在来看次数为n的情形．
f ( x )的首项为 ax n , g ( x ) 的首项为 bx m , (n m ) 设
f ( x ) | 0;
对 f ( x ) P[ x ], a P , a 0, 有 a | f ( x ).
即，任一多项式整除它自身；
零多项式能被任一多项式整除；
零次多项式整除任一多项式．
f a 0 时， ( x ) 与 a f ( x )有相同的因式和倍式．
2) 若 f ( x ) | g( x ) ，则 af ( x ) | bg( x ), a , b P (a 0).
证： 先证存在性．
① 若 f ( x ) 0, 则令 q( x ) r ( x ) 0. 结论成立． ② 若 f ( x ) 0, 设 f ( x ), g( x ) 的次数分别为 n, m , 显然取 q( x ) 0, r ( x ) f ( x ) 即有 当 n m 时，
5( x 1) 1
二、整除
1．定义
设 f ( x ), g( x ) P[ x ], 若存在 h( x ) P[ x ] 使
f ( x ) g ( x )h( x )
则称 g ( x ) 整除 f ( x ), 记作 g ( x ) | f ( x ). ① g( x ) | f ( x ) 时， 称 g ( x )为 f ( x )的因式， f ( x ) 为 g ( x ) 的倍式． ② g ( x ) 不能整除 f ( x ) 时记作： g ( x ) | f ( x ).
an abn1
ab1 b2
b0 a0
这里， b1 a1 ab0 , b2 a2 ab1 , ,
bn1 an1 abn 2 ,
r an abn1 .
说明：综合除法一般用于 ① 求一次多项式 x a 去除 f x 的商式及余式． ② 把 f x 表成 x a 的方幂和，即表成
u2 ( x ) x , ( u1 x g1 ( x ) u2 ( x ) g2 ( x ) 2 3 x ,
f ( x ) | u1 ( x ) g1 ( x ) u2 ( x ) g2 ( x )
但 f ( x ) | g1 ( x ),
f ( x ) | g2 ( x ).