弹性力学基本概念和考点

基本概念：

（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：

作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定：

连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变；

设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，

0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。

设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律，

0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态；

过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件）

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处

所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称；

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程： (1) 平面问题的平衡微分方程；

00yx

x x xy y

y f x y

f x y

τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）

(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；

10210f f ρρϕρϕ

ρϕρϕρϕ

ϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ

∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ

-+++=+++=

1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、 几何方程；

（1） 平面问题的几何方程；

x y xy u

x v y v u x y

εεγ∂=

∂∂=∂∂∂=+

∂∂（记）

（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；

1212

121u u v v u v ρρρϕϕϕρϕρϕρϕεεερ

εεερρ∂ϕ

γγγρρϕρ

∂=+=∂∂=+=+

∂∂=+=

+-∂∂

1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移） 三、 物理方程；

（1） 平面应力的物理方程；

()()()1

1

21x x y y y x xy xy

E E

E

εσμσεσμσμγτ=

-=-+=（记）

（2） 平面应变的物理方程；

()

22111121x x

y y y

x xy xy

E E E

μμ

εσσμμμεσσμμγτ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭

+=

（3） 极坐标的物理方程（平面应力）；

1

()1

()12(1)E E G E

ρρϕϕϕρρϕρϕρϕ

εσνσεσνσνγττ=

-=-+==

（4） 极坐标的物理方程（平面应变）；

221()

11()12(1)E E E

ρρϕϕϕρρϕρϕ

μμεσσμμμεσσμμγτ-=---=--+=

四、 边界条件； （1） 几何边界条件；

平面问题：()()

()()

s s u u s v v v == 在u s 上；

（2） 应力边界条件；

平面问题：

()()x

yx x

s

xy

y y

s

l m f l m f σ

ττ

σ+=+=（记）

（3） 接触条件；

光滑接触：()()n n

σσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()

()()

n n n n u u σσ'='= n 为接触面的法线方向

（4） 位移单值条件；

()()2u u θπθ+=

（5） 对称性条件：

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。

一﹑概念

1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。.

4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛

5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.

6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.

7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。

15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。 会推导两种平衡微分方程

17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量

（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据

主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数

18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形

的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式

(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；

(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量

(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全

5.平面问题的应力边界条件为

)()()()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσ填空