采样系统的稳态误差分析

Y (z) (z)R(z),
(z) G(z) 1 G(z)
E(z) R(z) Y (z) R(z) G(z) R(z) 1 G(z)
1 1 G(z) R(z) e(z)R(z)
利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
e() lim e*(t) lim (z 1)E(z) lim (z 1)R(z)
n
y(kT) A01(1) Ai pik i 1
上式中第一项为系统输出的稳态分量，第二项为
输出的暂态分量。显然，随着极点在z平面位置的
变化，它所对应的暂态分量也就不同。
1）实轴上的闭环单极点时
设pi为正实数。 pi对应的暂态项为
yi* (t )
Z
1
Ai
z
z pi
pi >0时，yi (kT)
由于0型及I型系统的ka=0，II型系统的为常 值，III型及III型以上系统的， ka=∞,因此有如下 结论成立：
0型及I型离散系统不能承受单位加速度函数 作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下 存在加速度误差，只有III型及III型以上的离散系 统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时 的稳态位置误差。
若闭环实数极点为于左半z平面，则输出动态 响应形式为双向交替脉冲序列。实极点位于单位 园内，双向脉冲序列收敛；实极点位于单位圆上， 双向脉冲序列等幅变化；实极点位于单位圆外， 双向脉冲序列发散。
2） 闭环共轭复数极点时
设ph 、ph1 ph e jk为一对共轭复数极点，ph 、 ph+1对应的暂态项为
kv
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式中
kv
lim [(z
z1
1)G(z)] 称为静态速度误差系数。
因为0型系统的kv=0， I型系统的为有限值，II
型和II型以上系统的 ，所以有如下结论：0型离散
系统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单
位斜坡函数作用下存在速度误差，II型和II型以上离
散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。
t
z1
z1 1 G(z)
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。
与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系
统型别的概念，由于z esT 的关系，原线性连续系
统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作为划分 系统型别的标准，可推广为将离散系统开环脉冲传
递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系统的型 别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II型离散系统。
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§8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传 递函数零、极点分布的关系
零、极点分布的关系
在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点 在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。 与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递 函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。
设闭环系统的脉冲传递函数为
（z) M (z) b0 z m b1z m1 b2 z m2 bm1z bm N (z) a0 z n a1z n1 a2 z n2 an1z an
y *(t)
Z
1
Ak
z z pk
Ak 1
z
z
pk 1
yk (nT ) 2 Ak eanT cos(nT k )
其中
a
1 T
ln
pk
,
k /T,
0 k
若| ph |>1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆外，动态响应为振荡脉冲序列；
若| pk |=1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆上，动态响应为等幅振荡脉冲序列；
若| pk |<1，闭环复数极点位于z平面上的单位 圆内，动态响应为振荡收敛脉冲序列,且||越小,即 复极点越靠近原点,振荡收敛越快；
Ai pik
Ai e a（kT 若令
a 1 T
ln
pi
）
动态过程为按指数规律变化脉冲序列。
pi <0时，yi (kT) Ai pik
动态过程为交替变号的双向脉冲序列。
闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系， 如图8-27所示
图8-27：实极点与动态响应的关系
若闭环实数极点位于右半z平面，则输出动态 响应形式为单向正脉冲序列。实极点位于单位园 内，脉冲序列收敛，且实极点越接近原点，收敛 越快；实极点位于单位园上，脉冲序列等幅变化； 实极点位于单位园外，脉冲序列发散。
因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在 采样瞬时存在位置误差；I型或II型以上的离散系统， 在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
e()
lim
z 1
(
z
1)
E
(
z)
lim
z 1
(z 1) 1 G(z
)
(
z
Tz 1)2
T
T
lim [(z 1)G(z)]
z 1
下面考查几种典型输入作用下的稳态误差。
(1)单位阶跃输入时的稳态误差
e() lim (z 1)E(z) lim (z 1) z
z1
z1 1 G(z) z 1
1
1
lim [1 G(z)]
z1
kp
式中 k p
lim [1 G(z)] z1
称为静态位置误差系数。
对0型离散系统（没有z=1的极点），则Kp≠∞, 从而e(∞)≠0；对I型、II型以上的离散系统（有一个 或一个以上 z=1的极点），则 Kp=∞，从而e(∞)=0。
式中m<n。为分析简便设其无重极点（分别为p1 、 p2 、······pn ）。
采样系统的单位阶跃响应
Y (z) (z)R(z) 其中R(z) z /(z 1),
Y (z)
A0
z z 1
n i1
z Ai z pi
（Ai为留数）
通过Z反变换导出输出信号的脉冲序列y*(t)
并无技术上的困难。
§8.7 采样系统的稳态误差
线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广 到采样系统中来。
下面仅介绍稳态误差系数的计算。 设单位反馈采样系统如图8-26所示：
图8-26 单位反馈采样系统
系统的开环脉冲传递函数为G(z)
采样系统的稳态误差除可从输出信号在各采样 时刻上的数值c(nT) (n=0，1，2…∞)，以及从过渡 过程曲线c·(t)求取外，还可以应用Z变换的终值定理 来计算。
（3）单位加速度输入时的稳态误差
e()
lim
z 1
(
z
1)
E
(
z)
lim
z 1
(z 1) 1 G(z)
T 2z(z 2(z
1) 1)3
lim [(z
z 1
T2 1) 2 G( z)]
T2 ka
当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称
为加速度误差。
式中ka
lim [( z
z1
1)2 G(z)] 称为静态加速度误差系数。