惯性矩、静矩-形心坐标公式

惯性矩、静矩-形心坐标公式

§I−1 截面的静矩和形心位置

如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分

⎪

⎭⎪⎬

⎫==⎰⎰A z S A y S A y A

z d d （I−1）

分别定义为该截面对于z 轴和y

轴的静矩。

静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得

⎪

⎪⎭⎪

⎪⎬⎫==

⎰⎰A A z z A A y y A

C A C

d d

利用公式（I−1），上式可写成

⎪

⎪⎭⎪

⎪

⎬

⎫====⎰⎰A S A A z z A S A A

y y y A

C z A C d d （I−2）

或

⎭

⎬

⎫==C y C z Az S Ay S （I−3）

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=

=

A

S z A S y y

C z

C （I−4）

图

如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即：

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎬⎫

==∑∑==n

i ci i y n

i ci i z z A S y A S 11

（I−5）

式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为

简单图形的个数。

将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪

⎬⎫

==∑∑∑∑====n

i i n

i ci i c n

i i n

i ci i c A z A z A y A y 11

1

1（I −6）

例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。

解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则

A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ

=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m

y C

0.12m

0.4m

y y 0.6m

0.2m O y

z

Ⅰ Ⅱ C

C C

例

题

m

323.008.0072.02.008.046.0072.0II

I II II I I 1

1=+⨯+⨯=++=

=

∑∑==A A y A y A A

y

A y n

i i

n

i ci

i c

§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩

如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图

形平面内建立直角坐标系zOy 。现在图形内取微面积d A ，d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 和z ，到坐标原点的距离为ρ。现定义y 2d A 和z 2d A 为微面积d A 对z 轴和y 轴的惯性矩，ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分

⎪

⎪

⎭⎪⎪⎬

⎫===

⎰⎰⎰A ρI A z I A y I A A

y A

z d d d 2P 2

2（I−7） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性

矩。

由图（I −2）可见，222z y +=ρ，所以有

⎰⎰+=+==A

y

z A

I I A z y A ρI )d (d 222P （I −8）

即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。

另外，微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积，而积分

A

zyd I A

yz ⎰=（I −9）

定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。

从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一

图

般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m 4或mm 4。

§I −3 惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式

一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式

图I −3所示为一任意截面，z 、y 为通过截面形心的一对正交轴，z 1、y 1为与z 、y 平行的坐标轴，截面形心C 在坐标系z 1O y 1中的坐标为（b ，a ），已知截面对z 、y 轴惯性矩和惯性积为I z 、I y 、I yz ，下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩和惯性积I z 1、I y 1、I y 1z 1。

A a I I z z 2

1+=（I−10）

同理可得

A b I I y y 21+=（I−11）

式（I −10）、（I −11）称为惯性矩的平行移轴公式。 下面求截面对y 1、z 1轴的惯性积1

1z y I 。根据定义

⎰⎰++==A

A

z y A

a y

b z A y z I )d )((d 1111

⎰⎰⎰⎰+++=A

A

A

A

A

ab A y b A z a A zy d d d d

abA

bS aS I z y yz +++=

由于z 、y 轴是截面的形心轴，所以S z =S y =0，即

abA

I I yz z y +=11 （I−12）

式（I −12）称为惯性积的平行移轴公式。

二、惯性矩、惯性积的转轴公式

z

d A C

z 1

y 1

y 1 a

b O

图

z 1 y

z y