2013-2014年华南理工大学期末考试《工科数学分析》(上)试卷(B)解答

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

《工科数学分析（上）》2012—2013第一学期期末考试试卷（A ）

1. 考前请将密封线内填写清楚；

所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；

本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1. 下列说法中哪个不能作为数列{}n x 收敛的等价定义（ ）。 A. 存在常数a ，使得0,0,,n N n N x a εε∀>∃>>-≤当时有；

B. 存在常数a ，使得{}()0,,n x a a εεε∀>-+数列中只有有限项落在之外；

C. 0,0,,,n N n N x a εε∃>∀>>-≤当时有；

D. 0,0,,,n m N n m N x x εε∀>∃>>-<当时有。

2. 设()1

1arctan ,0(),ln 1,10

x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩则()f x 的所有间断点及其类型是( ) 。 A. 1x =是()f x 的无穷间断点, 0x =是()f x 的跳跃间断点； B. 1x =是()f x 的跳跃间断点, 0x =是()f x 的可去间断点；

C. 0x =是()f x 的跳跃间断点；

D. 0x =是()f x 的可去间断点。

3. 设对任意x ，有(1)(),(0),f x af x f b '+==且其中,a b 为非零常数，则

。

A. ()f x 在1x =处不可导； B ． ()f x 在1x =处可导，且(1)f a '=； C ．()f x 在1x =处可导，且(1)f b '=； D. ()f x 在1x =处可导，且(1)f ab '=。

4. 设()f x 二阶可导，且0

()

(0)0,lim

1,x f x f x

→'''==则 ( ) 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值；

B ．(0)f 是()f x 的极小值；

C ．()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点；

D. (0)f 不是()f x 的极值，()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点。

5. 设在区间[]0,1,()0,(0),(1),(1)(0)(0)(1)f x f f f f f f ''''>--上则或的大小顺序是（ ）。

.(1)(0)(1)(0);A f f f f ''>>- .(1)(1)(0)(0);B f f f f ''>-> .

(1)(0)(1)(0);C f f f f ''->> .

(1)(0)(1)(0).D f f f f ''>->

二、填空题（每小题3分，共15分）

１. 设[]01lim x x x x x →⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

表示不超过的最大整数，则＝ ；

２. 已知ln x y x

=，则微分2

d y = ； ３.

定积分

21

e =⎰

；

４. 设2

()x e f x -是的一个原函数，且()f x '连续，则()xf x dx '=⎰

； ５. 反常积分

x x

dx e

+∞=⎰

。 三、计算题（每小题10分，共50分）

１. 求极限(

)

2

arctan lim

x

x t dt

解：

222(arctan )d (arctan )lim

lim lim (arctan )4

x x x x t t x x x π→+∞→+∞===

２. 2.求极限1

π

lim (arctan )2

x x x →+∞-．

3. 设()f x 在点0x =的邻域内二阶可导，且30sin ()

lim 0.x x xf x x

→+= 求(0),'(0),''(0)f f f 的值．

4. 求不定积分24sin 1

d cos x x x

+⎰

．

5. 求曲线ln y x =与直线0y =及e 1y x =+-所围成的平面图形的面积．

四、证明题（本题10分）

已知010121

n a a

a n ++⋅⋅⋅+=+，证明在区间(0,1)内方程010n n a a x a x ++⋅⋅⋅+=至少有 一个实根．

五、应用题（本题10分）

设由2

1

,0,1,2y y x x x =

===所围成的曲边梯形被直线(12)x t t =<<分成,A B 两部分，将,A B 分别绕直线x t =旋转，所得旋转体体积分别为A V 和B V ．问t 为何值时，

A B V V +最小？