解斜三角形·典型例题精析

解斜三角形·典型例题精析

【分析】已知两边及一边对角，先判定三角形解的情况：由b＞c，B=45°，故有一解．先由正弦定理求角C，然后再由内角和求角A，最后再用正弦定理求a．

【解法一】

于是据正弦定理，得

由b＞c，B=45°，可知C＜B．

∴C=30°．

又A＋B＋C=180°，

∴A=180°－（B＋C）=105°．

再由正弦定理，有

（求a时，由于前面已经知道b，c，A，也可用余弦定理．）

【解法二】已知两边及一边的对角，可由余弦定理求第三边，再用正弦定理、余弦定理求角．据余弦定理，得

此时三角形的三边均已知，可用余弦定理求角，也可用正弦定理求角（B已知）．由余弦定理，得

∴C=30°．

∴A=180°－（45°＋30°）=105°．

【分析】已知两边及一边对角，且A=45°为锐角，此时需考虑

形，故此三角形有两解．

【解法一】由正弦定理，得

∵bsinA＜a＜b，

∴这个三角形有两组解．

∴B=60°或B=120°．

= 75°．据正弦定理，得

【解法二】已知两边及其一边的对角，可用余弦定理，得

【说明】已知两边及一边对角求解三角形时，使用余弦定理，借助方程的思想，将第三边视为未知数，得到以这条边为未知数的一元二次方程．若这个方程有两个不同的正实根，则三角形有两解；方程有重根，三角形有一解（B为直角）；只有一正实根而另一个为复实根，也有一解（B为锐角）．

例3在△ABC中，A=120°，b=3，c=5，求：（1）sinBsinC；（2）sinB ＋sinC．

【分析】已知两边及夹角，由余弦定理求第三边．再用正弦定理求sinA，sinB．

【解法一】（1）∵b=3，c=5，A=120°，

∴据余弦定理，得

∴ a=7．

由正弦定理，得

（2）由（1）的结果，有

【解法二】（1）由余弦定理，得到a=7．

由正弦定理，a=2RsinA，

（2）求得a=7以后，由正弦定理

【分析】已知三边，可用余弦定理直接求角，先求出两个角后，再用内角和求第三个角．使用余弦定理求角时，一般在判断三条边的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60°，最小角大于60°，可知三角形无解．

【解】由已知，a＜c＜b，B最大．

据余弦定理，得

∴B=105°．

由正弦定理，得

∵ b＞c，

∴ C为锐角，C=45°．

于是A=180°－（B+C）=30°．

∴A=30°，B=45°，C=105°．

A=30°，再求其他角．由于题目已知三边，所以利用余弦定理求得最大角或最小角后，再求其余的第二个角，仍可用余弦定理，例如由

【分析】由于角C已知，再求出一个角后，用内角和定理即可求第三个角．因为角C=30°，使用正弦定理求其他角的正弦时，需知a，

用a表示

b，找到a与c二者的关系．

∵ a＞0，c＞0，

由正弦定理，得

∴A＝75°或105°．

若A=75°，则B=180°－（A＋C）=75°，a=b，与已知矛盾．

∴A＝105°，B=180°－（A＋C）＝45°．

【分析】所求证的恒等式左边既含有边又含有角，而右边只含有角的形式，可将左式的边均转化为角的形式，也可将恒等式中的角的形式均转化为边的形式．

【证法一】使用正弦定理，将边的形式转化为角的形式．

所以等式成立．

【证法二】使用余弦定理，和正弦定理将角形式均转化边的形式，将左式变形．

所以等式成立．

例7在△ABC中，已知（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状．

【解法一】利用边的关系来判断．由正弦定理，得

由2cosAsinB=sinC，有

又据余弦定理，得

∴a=b．

又已知（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，

由 a=b，

b=c．

∴a＝b＝c．

因此△ABC为等边三角形．

【解法二】利用角的关系来判断．∵A＋B＋C＝180°，

∴sinC=sin（A＋B）．

又 2cosAsinB=sinC，

∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB．∴sin（A－B）=0．

又A与B均为△ABC的内角，

∴A＝B．

又由（a＋b＋c）（a＋b－c）=3ab，

据余弦定理，上式化为

∴C=60°．

故△ABC为等边三角形．

【说明】判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的边关系，另一是考虑三角形的内角的关系．当然可将边和角巧妙结合同时考虑．

例8如图5－4－1，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A 有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28nmile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

【分析】若在C处甲船追上乙船，那么在△ABC中，AB=9h，∠ABC=180°－15°－45°=120°．题目所求为AC的长度，方向与∠CAB有关．

【解】设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇．在△ABC中，AC=28t，BC ＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°=120°．

据余弦定理，得

（4t－3）（32t＋9）＝0．

据正弦定理，得

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又∠ABC＝120°，

【说明】航海问题常涉及到解斜三角形的知识，解题时应注意画出示意图，帮助分析，本题中的∠ABC，AB边已知，另两边未知，但它们都是船航行的距离，由于两船的航速已知，所以，这两条边均与时间t有关．这样据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t值，问题得到解决．

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