电路分析第八章

注：
u ≠Um
i ≠ Im
振幅相量是正弦波的变换式，不是正弦波本身。 振幅相量是正弦波的变换式，不是正弦波本身。 • •
i ⇔ Im
u ⇔Um
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。 相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。 就是把正弦量的相量画在复平面上
例： 已知正弦电压u1(t)=141 cos(ωt+π/3) V， 已知正弦电压 ， u2(t)=70.5 cos(ωt-π/6) V， 写出 1和u2的相量， 的相量， ， 写出u 并画出相量图。 并画出相量图。 解：
第八章 阻抗和导纳
§8－1 － §8－2 － §8－3 － §8－4 － §8－5 － §8－6 － §8－7 － 变换方法的概念 复数 振幅相量 相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式 三种基本电路元件VCR的相量形式 三种基本电路元件 的相量形式 VCR向量形式的统一 阻抗和导纳的引入 向量形式的统一—阻抗和导纳的引入 向量形式的统一 正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比正弦稳态电路与电阻电路分析方法的类比 -- 相量模型的引入 §8－8 正弦稳态混联电路的分析 － §8－9 相量模型的网孔分析方法 和节点分析方法 － §8－10 相量模型的等效 － §8－11 有效值 有效值相量 － §8－12 两类特殊问题 相量图法 －
= 182.5 + j132.5 = 225.5∠ 36
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旋转因子： (3) 旋转因子： 复数 ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ ∠
A• ejθ 相当于 逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。 相当于A逆时针旋转一个角度 而模不变。
称为旋转因子。 故把 ejθ 称为旋转因子。 Im
直接求解
原来的问题
变换
原来的问题 的解答
反变换
变换域中 较易的问题
求解
变换域中 问题的解答
8-2复数
复数A的表示形式 复数 的表示形式
A = a + jb
A =| A | e
jθ
(j = − 1 为虚数单位) 代数式
指数式
A =| A | e jθ =| A | (cos θ + j sin θ ) = a + jb
三角函数式
A =| A | e =| A | ∠θ
jθ
极坐标式
几种表示法的关系： 几种表示法的关系：
Im b 直角坐标表示 极坐标表示 0
A |A|
A=a+jb A=|A|ejθ =|A| θ
| A |= a 2 + b 2 b θ= arctg a
复数运算
θ
a Re
或
a =| A | cosθ b =| A | sinθ
= cos( ± π ) + j sin( ± π ) = −1
都可以看成旋转因子。 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8-3
振幅相量
正弦交流电路： 正弦交流电路：激励和响应均为同频率的正弦量的线性 电路称为正弦电路或交流电路。 电路称为正弦电路或交流电路。 研究正弦电路的意义： 研究正弦电路的意义： 1、正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有 、 十分重要的地位。 十分重要的地位。 正弦函数是周期函数，其加、 正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积 求导、 分运算后仍是同频率的正弦函数 正弦信号容易产生、 正弦信号容易产生、传送和使用 2、正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 、正弦信号是一种基本信号， 号可以分解为按正弦规律变化的分量
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ 35 + =? 20 + j5
19.24∠ 27.9 × 7.211∠56.3 原式 = 180.2 + j126.2 + 20.62∠14.04
= 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16
= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329
u1 ←→ U 1m = 141∠ V 3
• •
π
u2 ←→ U 2 m = 70.5 ∠− V 6
相量图如图
π
8-11.有效值 有效值相量 有效值
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值 正弦电流、电压的瞬时值随时间而变， 正弦电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果，工程上采用有效值来表示。 均效果，工程上采用有效值来表示。 1、有效值定义： 、有效值定义： 将周期电流（电压）和直流电流（电压） 将周期电流（电压）和直流电流（电压）施加于 电阻时，电阻都要消耗电能，以此为依据， 电阻时，电阻都要消耗电能，以此为依据，可以为周 期电流（电压）规定一个表征其大小的特定值。 期电流（电压）规定一个表征其大小的特定值。设有 两个相同的电阻R，分别通以周期电流i和直流电流 和直流电流I。 两个相同的电阻 ，分别通以周期电流 和直流电流 。 当其周期电流和直流电流分别流过电阻时， 当其周期电流和直流电流分别流过电阻时，该电阻在 消耗的电能为： 消耗的电能为：
(1)加减运算 (1)加减运算——采用代数形式 采用代数形式 加减运算 若 则
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
复数加减运算图解法
则
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im A2 A1 0
A1 + A2
A1 − A2
− A2
Re
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式
I
R
i
R
直流
W = RI T
2
交流
W = R ∫ i dt
2 0
T
如果在周期电流的一个周期的时间内，两个电阻R 如果在周期电流的一个周期的时间内，两个电阻 一个周期的时间内 消耗的电能相等，也就是说， 平均作功能力来说 能力来说， 消耗的电能相等，也就是说，就平均作功能力来说，这 两个电流是等效的，则该直流电流I的数值可以用以表征 两个电流是等效的，则该直流电流 的数值可以用以表征 周期电流的大小，这一特定的数值I称为周期电流 称为周期电流i的有 周期电流的大小，这一特定的数值 称为周期电流 的有 效值。 效值。即
以正弦电流为例， 对于给定的参考方向， 以正弦电流为例， 对于给定的参考方向， 正弦量 的一般解析函数式（瞬时值表达式） 的一般解析函数式（瞬时值表达式）为 i(t)=I m sin(ωt+φ) 一、正弦量的三要素 、 振幅、最大值) (1) 幅值 (振幅、最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
8-1变换方法的概念 变换方法的概念
问题的提出
a
1 u s 2 us 3 1 + + ua = is1 + R2 R3 R2 R3
R2 R3
R1
R2 R3 R3 R2 ua = is1 + us 2 + us 3 R2 + R3 R2 + R3 R2 + R3
is1 = 6 2 cos ( 314t + 75 ) A
规定： |ϕ | ≤π (180°) 规定：
等于初相位之差
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ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 滞后 u ϕ 角, (u 比 i 先 超前i ， 超前
到达最大值) 到达最大值)；
ϕ <0， i 超前 u ϕ 角，或u 滞后 i ϕ 角, i 比 u 先 ，
到达最大值）。 到达最大值）。 u, i u i o
除法：模相除，角相减。 除法：模相除，角相减。
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例1. 解
5∠47 + 10∠ − 25 = ?
5∠47 + 10∠ − 25 = (3.41 + j 3.657) + (9.063 − j 4.226) = 12.47 − j 0.569 = 12.48∠ − 2.61
例2.
解
(3) 初相位ψ
ω = 2π f = 2π T
单位： 弧度/ 单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
二. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 相位差 ：ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i
ψu
ωt ψi ϕ
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特殊相位关系
ϕ =±π (±180 ) ，反相
o
ϕ ＝ 0， 同相
u i o o
u i ωt u
ωt
ϕ= π/2：u 领先 i π/2
i o
ωt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
解
计算下列两正弦量的相位差。 计算下列两正弦量的相位差。
其中
•
(
j (ωt +ϕ )
)
U m = U m e jφ = U m ∠ φ
这一复值常数包含振幅和初相位两种信息，称为 这一复值常数包含振幅和初相位两种信息， 电压振幅相量。 电压振幅相量。
•
振幅相量只是一个复数，但它具有特殊的意义， 振幅相量只是一个复数，但它具有特殊的意义， 它是代表一个正弦波 正弦波的 为了与一般复数相区别， 它是代表一个正弦波的，为了与一般复数相区别， 在相量的字母上加一点。 在相量的字母上加一点。 • •
(1) i1 (t ) = 10 cos(100 π t + 3π 4) i2 (t ) = 10 cos(100 π t − π 2)
结论
两个正弦量 0 进行相位比 (2) i1 (t= 3π 4cos(100 π= +π 4 > 0 ϕ ) = 10 − ( − π 2) t 5 30 ) 较时应满足 0 ϕ sin( 4 − 2 t = − π i2 (t ) = 10= 5π100 π π − 153) 4 同频率、 同频率、同 0 (3)i ( t1i(2t(t = = cos( 100 ππt− 105)0 )) 函数、同符 u ) = ) 10 cos(100 π tt + 300 ) 10 3 cos(100 − 150 函数、 ω ω1 ≠ 2 2 0 0 0 ϕ = −30 − ( −150 + 450 ) 号，且在主 u2 (t ) = 10 cos(200 π0 t ) = 120 不能比较相位差 ϕ = 30 0 − ( −105 ) = 135 0 值范围比较。 值范围比较。 (4) i (t ) = 5 cos(100 π t − 300 )
若 则:
A1=|A1| θ 1 ，A2=|A2| θ 2
= A1 A2 ∠θ 1 + θ 2
A1 ⋅ A2 = A1 e jθ1 ⋅ A2 e jθ 2 = A1 A2 e j (θ1 +θ 2 )
乘法：模相乘，角相加。 乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | ∠ θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j( θ 1−θ 2 ) e = = = jθ 2 | A2 | A2 | A2 | ∠ θ 2 | A2 | e | A1 | θ1 −θ 2 = | A2 |
us 2 = 6 2 cos ( 314t + 30 ) V
is1
us2
us3
us 3 = 4 2 cos ( 314t + 60 ) V
需要通过和差化积计算正弦信号（繁琐） 需要通过和差化积计算正弦信号（繁琐）
科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题。 科学与工程技术领域经常使用变换方法求解问题。 变换方法求解问题 变换方法求解问题的基本思路： 变换方法求解问题的基本思路： 1、将原来问题变换为一个较容易处理的问题 、 2、在变换域中求解问题 、 3、把变换域中求得的解答反变换为原来的问题 、
1
i2 (t ) = −3 cos(100 π t + 300 )
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三、振幅相量表示法 用复数来表示正弦量方法叫正弦量的相量表示法。 用复数来表示正弦量方法叫正弦量的相量表示法。
设某正弦电压为
u (t ) = U m cos(ωt + ψ )
由欧拉恒等式可得： 由欧拉恒等式可得：
A• ejθ
θ A Re
0
几种不同θ 几种不同θ值时的旋转因子
Im
θ=
e
j
π
2
ɺ + jI
0
ɺ I
,
π
2
= cos
π
2
Байду номын сангаас
+ j sin
π 2
π
2
=+j
Re
ɺ − jI
ɺ −I
π θ=− , e 2
j−
π π = cos( − ) + j sin( − ) = − j 2 2
θ = ±π , e
j±π
e = cos θ + j sin θ
jθ
e jωt = cos ωt + j sin ωt sin ωt = Im ( e cos ωt = Re ( e jωt )
jωt
)
u ( t ) = U m cos (ωt + ϕ ) = Re U m e = Re (U m e jϕ e jωt ) = Re U m e jωt