电路分析基础第五版第8章

u (t) R U m e e j( t[ )] RU m e e je j[ t]

令 Um Umej, 则
u(t)RU em e[jt]RU em [t]
由此通过数学方法，把一个实数范围内的正弦
时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应 起来。该复指数函数包含了正弦量的三要素。
如图5-2（a）、（b）、（c）、（d）分别表 示两个正弦量同相、超前、正交、反相。
三、正弦电流、电压的有效值
1、有效值
周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直 流量，分别作用于同一电阻，如果经过一个周 期的时间产生相等的热量，则这个周期量的有 效值等于这个直流量的大小。电流、电压有效 值用大写字母I、U表示。
同理： U1 2U m0.70 U m 7 U m 2 U 通常所说的正弦电压、电流的值均指有效值。
有效值可作为正弦量“三要素”之一。
§8-3 相量法的基础
相量法就是用复数来表示正弦量，使描述正弦电 路的微分(积分)方程转化为代数形式的方程，而这 些方程在形式上与电阻电路的方程相类似，从而 使正弦激励下的电路的分析和计算大大简化。
其中

UmUmej Um
是一个与时间无关的复值常数，其模为该正弦电
压的振幅，辐角为该正弦电压的的初相，它包含 了该正弦电压“三要素”中的两项。
如果给定角频率，则

UmUmej Um
可以完全地确定一个正弦电压，称之为相量。
2、相量定义：相量就是一个能够表示正弦时间函 数的复数。
(1)电压相量：幅值相量
压源为 us(t)U sm co ts(s)V ，求开关闭合后电容电
压uC(t)。 微分方程：
RC ddC utuCUsm cost(s)
微分方程的解：
uC(t)uC(ht)uC(pt)
齐次微分方程的通解：uCh(t)

t
Ae RC
非齐次微分方程的一个特解（与输入相同形式）：
根据有效值的定义，则有
T i2Rdt I2RT 0
I 1 T i2dt
T0
周期电流的有效值又叫方均根值。
2、正弦量的有效值
对于正弦电流，设 i(t)Imcots(i)
I
1 T
T 0
I
2 m
cos2 (t

i)dt

Im 2
0.707Im
Im 2I i(t) 2Icost (i)
§8-1 复数 1、一个复数A的几种表示形式 (1) 代数形式(直角坐标形式)：A=a1+ja2 式中a1、a2都是实数，分别为A的实部和虚部，
j 1 称为虚数单位。
采用 Re和Im两种记号表示实部和虚部。 因此有： Re(A)=Re(a1+ja2)= a1
Im(A)=Im(a1+ja2)= a2
一、正弦量(正弦波)的三要素 振幅、角频率(频率或周期)和初相。 正弦电压 u(t)=Umcos(t+) (1)振幅：正弦量的最大值Um。 (2)角频率：表示了每秒变化 的弧度数。
用表示， 2 2f 单位为弧度/秒(rad/s)。
T
(3)相位角：式中t+ 称为相位角，简称相位。
(4) 初相角 ：正弦量在t=0时刻的相位角，简称 初相。
初相角反映了正弦量初始值的大小。
即：u(0)=Umcos 初相角的取值：的大小与计时起点有关。
如果正弦量的正最大值发生在时间起点之前，则 为正值；如果正弦量的正最大值发生在时间起 点之后，则为负值。 ||。
单位：弧度(rad)，工程上常用度作单位。
可知U1m=50V，
1
=-30
所以 u1(t)=U1mcos(t+1)=50cos (314t - 30)V

(2)由 U2m100150V 可知U2m=100V， 2 =150 所以 u2(t)=U2mcos(t+2)=100cos (314t +150)V
小结：
1、相量法就是用复数来表示正弦量，正弦量与相

Um Umu
有效值相量

U Uu
其中Um为电压幅值，U为电压有效值，u为电压
初相。

Um 2U

(2)电流相量：幅值相量 Im Imi
有效值相量

I Ii
其中Im为电流幅值， I为电流有效值， i为电流
初相。

Im 2 I
注意：相量只能表示正弦量，并不等于正弦量。
例1、设有两个同频率的正弦电流
i1(t)32co 3st1 (4 /6 )A i2(t)42co 3st1 (4 /3 )A
试写出代表这两个正弦电流的相
+j

I1
/6
o -/3
量，并画相量图。

解：

I1
3
/
6A

I2 4/3A
I2
+1

I1 I2

II1I252.1 3A
uC(p t)U Cm cots()
特解代入微分方程得：
R cC m si t U n ) U ( C (t m ) U sc mo t s ) s(
K 1CR C,m K U 2U Cm 令 K K12 K22 UCm CR2 1
若不作特殊说明，所称相量均指有效值相量。
3、相量图：作为复数，相量在复平面上可用 向量表示，相量在复平面上的图示称为相量图。

4、旋转相量：相量与ejt 的乘积 (U m e j t ) 是时间t 的复值函数，在复平面上可以用以恒定角速度逆 时针方向旋转的相量表示，称之为旋转相量。
旋转相量在实轴上的投影就是正弦量在任何 时刻的瞬时值。
(2) 三角形式：用三角函数表示 A=acos +jasin=a(cos +jsin)
式中 a a12 a22
称为复数A的模(或幅值)，总为正值； tg= a2 / a1，称为复数A的辐角。
复数A在复平面上可用向量表示，如图。 (3) 指数形式
由欧拉公式ejcosjsin可得：A ae j
1、用复数表示正弦函数
用欧拉公式 ejcosjsin把复指数函数与
正弦函数联系起来。
令= t，其中为常量，单位为rad/s，
则 ejtcostjsi nt
由此可得：costReej[t], sintIme[jt]
依此，正弦电压 u(t)=Umcos(t+)可以写作：
ej 1是一个模等于1而辐角为的复数。 任意复数 Aaa 乘以ej等于把复数A逆时针 旋转一个角度，而A的模值不变。
一个复数乘以j，等于把该复数在复平面上逆时针 旋转/2；一个复数除以j，等于把该复数乘以-j， 即等于把该复数在复平面上顺时针旋转/2。
§8-2 正弦量
正弦电压和电流：随时间按正弦规律变化的电压 和电流分别称为正弦电压和正弦电流。 通常说的交流电指正弦交流电。 可用正弦（sin）或余弦（cos）函数表示。
若使上式等号两端相等，必须满足
KUCm (CR)2 1Usm

s

UCm
Us m
(CR)2 1
s s arctgCR
uC(t)AR et C U Cm cots()
利用初始条件确定常数A， 即
uC(0)AUCmcosU0
i( t) i1 ( t) i2 ( t) 5 2 c3 ot 1 s 2 .1 ( 4 ) 3 A


例2、已知 U1m 5030V U2m 100150V
f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。
解： =2f=100=314 rad/s
(1)由

U1m
5030V
1= /180 rad， 1 rad = (180 / )
幅值、初相、角频率可确定一个正弦量，称 为正弦量的三要素。
二、同频率正弦量的比较 例：
u1(t)=U1mcos(t+1)
u2(t)=U2mcos(t+2)
(1) 相位差：相角或相位之差，也称相位角差。 用表示， = (t+1) - (t+2) = 1 - 2 相位差在任何瞬间都是一个常数，即等于它们的 初相之差，而与时间无关。 相位差与计时起点的选择无关。
uCA(t) U( 0U 0U CU m C c m oc so )se Rt C U C m c o st ( ) t > 0
暂态响应
稳态响应
稳态响应为 uC(t)U Cc mots()
结论
正弦激励的动态电路稳态响应 是与输入频率相同的正弦函数， 称之为正弦稳态响应。
第八章 相量法 教学目标
深刻理解并牢固掌握正弦量的概念 深刻理解并牢固掌握相量表示法 深刻理解并牢固掌握熟练应用基尔霍夫定律
的相量形式
深刻理解并牢固掌握独立元件伏安关系相量
形式
熟练应用基尔霍夫定律和独立元件伏安关系
的相量形式分析交流电路问题
引例：正弦激励的一阶动态电路，图示电路，t=0 时开关闭合。若电容电压的初始值uC(0)=U0，电
(4) 极坐标形式 Aa是复数三角形式和指数形式的简写形式。
2、复数的运算 (1) 相等：两个复数的实部和虚部分别相等；
两个复数的模和辐角分别相等。
(2)加减运算：用代数形式来进行。 几个复数的相加或相减，就是它们的实部和虚
部分别相加或相减。
复数的加减运算可以用平行四边形法则在复平 面上用作图法来进行。
arctgK1 arctgCR
K2
由图可得：
K 1K sin ,K 2K co s
Ksin si nt ()Kco csots()