小波分析(讲稿)

应关系，即不能给出某一指定频带内的时域图形。这种对应关系称为时频分
析，所以傅里叶分析不能进行时频分析，而时频分析在工程中却相当有用。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题： （3）傅氏分析采用窗宽固定的窗函数。为了分析提取信号的低频成分，T0应
取较大值，且频率分辩率较高；为了分析提取信号的高频成分，T0应取较小 值，时域分辩率较高，而对频率分辨率要求不高。 但T0固定时，两者不能同 时满足。
波变换的概念、1986年法国数学家Meyer创造性地构造出了具有一定衰减 性的光滑化函数—正交小波函数,标志着小波热潮的开始。 （3）1987年,法国人Mallat提出了多分辨分析的概念,为统一地构造小波 函数奠定了基础,同时给出了以他的名字命名的小波分解与重构算法。 （4）1988年,Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基,至此小波分 析的系统理论初步得到建立。 （5）1990年,崔锦泰和王建中构造了基于样条的半正交小波函数,使得小 波分析的系统理论得到完善。
信号的变化都将波及整个频谱图，从而导致傅里叶分析在时域上无任何局部化 特性。这不利于非平稳信号、特别是瞬变信号的分析，在频域上是看不出这
些突变特征。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（2） 不能实现时频分析。信号分解转换到频域后，丢失掉了时域的信息， 频域中某频率或频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息没有直接的对
二.小波变换的基本概念
4. 小波变换定义
数上作了变化，实质仍然是不同成分的叠加。
与Fourier变换对比：从 X ( ) x(t )e jt dt 可以看到，两者是在基函
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称 c j ,k
1 k W f ( j , j ) 为小波系数 2 2
对小波变换的研究，实质上是对小波系数的研究。
对信号进行消噪以及特定频率 的滤波。而后对滤波信号进行 谱分析。
（3）小波重构（合成） 小波分析的另一个主要方面就是在分析、比较、处理（去掉高频噪声 等处理）后，根据得到的小波变换系数来重构信号。这个过程就是逆离散 小波变换（IDWT）。
（4）多尺度分解与重构
9.小波包分解
小波分析中，是将信号分解成低频的逼近部分与高频的细节部分，而
消噪前后对比
实际应用
2.小波消噪
实际应用
2.能量谱检测
实际应用
2.能量谱检测
实际应用
2.能量谱检测
当轮齿齿面出现点蚀时，在正常振动的基础上出现了很多小的波峰， 这些波峰就是点蚀坑引起的，如图1所示。 从信号频谱图（图2）上可以看到，在信号的高频段（约1750Hz～ 3250hz）振动能量明显提升。点蚀坑将引起脉冲冲击，从而使信号在较 高频域段内幅值有较大提高。尤其是在齿轮固有频率处，由于共振使振 动能量明显加大。 －－利用小波包的多尺度分解能力，把信号分解到多个频率带， 通过检测各频率带信号的能量变化，可以对点蚀故障进行识别
2.短时傅里叶变换 STFT（Short-Time Fourier Transform）
( SFTw f )( , b)



f (t ).w(t b)e j .t dt
STFT将信号在时域上加窗函数，然后进行傅立叶变换，再在时域上 移动窗函数，最后完成连续重叠变换，得到与时间有关的信号频谱的描 述。从而在时频域得到一个信号能量的三维分布。
后逐次对低频部分进行再次分解。
在实际应用中，希望提高高频频带信号的频率分辨率。小波包是在全 频带对信号进行多次的频带划分，继承了小波变换所具有的良好时频局部
化优点，由于继续对小波变换没有再分解的高频频带作进一步的分解，从
而提高了频率分辨率。 小波分解结构 小波包分解结构
三.小波变换在信号分析中的应用
来越大，故可对若干尺度上的小波系数设置阈值，将分解尺度
上的噪声所对应的小波系数进行阈值化置零，保留有效信号所 对应的小波系数，然后进行重构，则重构后的信号就是基于小
波变换的消噪信号。
分解结构图
分解后的各部分重构
S：原始信号
cA1,cA2,cA3：分解各层的逼近信号 cD1,cD2,cD3：分解各层的细节信号 如果将cD1,cD2,cD3的分解系数都设置为零， 而只保留cA3,而后进行小波重构，得到的信号 就是消噪之后的信号。
8. 离散小波变换（ Dispersed Wavelet Transform DWT)
对连续信号进行小波变换其工作量非常巨大，而且由于大多数的采样 信号是离散的，所以在实践中是采用离散小波变换来实现。 （1）一阶滤波：近似与细节 大多数信号低频部分是对分析有意义的，而高频部分则多是噪声成分。 因而在实际信号处理时，往往是去除高频成分，而保留低频成分。 信号的近似部分就是信号中大的、低频成分；细节部分就是信号局部、 高频成分。(A- Approximation; D- Detail )
实际应用
2.小波消噪 在实际信号测量中，传感器、传输线、电源等所带来的背
景噪声，往往使测量结果产生误差，严重时甚至可能淹没有用 信号，使测量结果不能正确反映被测对象的真实状态，降低了 信号分析的可信度，因此信号消噪是信号处理的首要问题。
白噪声的小波变换系数模值随分解尺度的增加而变的越来 越小，而信号的小波变换系数模值随分解尺度的增加而变的越
在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。
优点：适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被 誉为分析信号的显微镜，利用小波变换进行动态系统故障检测与诊断具 有良好的效果。
4.小波分析的发展史
（1）1910年Harr提出的第一个小波规范正交基;
（2）1984年法国地质学家Morlet和理论物理学家Grossman提出了连续小
噪声的频率或频率范围可以预先确定，这时利用小波变换的滤波特性即可；
其二是不确定性噪声的处理，噪声的频率或频率范围不可预知，例如白噪声 的频率就几乎覆盖整个频率轴，此时就需要利用小波变换的模极大特性，模 极大代表了重要信号的特征。在实际应用中可以对细节信号设立一个门槛值， 保留大于门槛值的极值（模极大），而将小于门槛值的毛刺置零，然后进行 重构运算，就可以获得近似较好的除去噪声的原信号。
表示对时域信号f ，以w 代表的窗函数加窗，进行短时傅氏
变换，其结果是频率
和时移 b 的函数。
主要缺陷：STFT的窗函数一旦确定，就不能再变换。对于频率成分较多 的信号，很难找到一个最合适的窗函数，从而很难获得一个最佳的分析 精度。
2.STFT（Short-Time Fourier Transform）
小波变换同其它方法相比，具有两个重要的特点：多分辨率的时频局部化
分析、快速线性多通道带通滤波。其应用也可以从这两点来入手，下面就几
个典型方面的应用作简要描述。 1、滤波。根据小波变换的滤波特性，可以将那些希望剔除的频率范围对应的
子空间序列置零，然后进行重构运算，就得到了一个同时具有高通、低通、
多个带通和多个带阻的多通道滤波器。 2、信号降噪。信号中的噪声可分为两种情况处理，其一是确定性噪声处理，
二.小波变换的基本概念
1. 小波定义
设 (t ) (t ) dt 是基本小波的能量，则 a ,b (t ) 的能量为
2
a ,b (t )

1

t b 1 t 1 ( ) dt dt a (t ) (t ) a a a a a
2
2
2. 几种常见的小波函数
t2 T0
(t ) e
e j0t
3. 定义解释
小波变换的基本思想来 源于伸缩和平移方法。 （1）尺度伸缩（Scaling）
对波形的尺度伸缩就是
在时间轴上对信号进行压缩 与伸展，如右图所示，时间 尺度 a 是反比于频率。
（2）时间平移（Shifting）
是指小波函数在时间轴上的波形平行移动。如下图所示。
最后，将得到使用不同尺度评估信号在不同时
间段的系数，这些系数就表征了原始信号在这 些小波函数的投影大小。
7. 小波尺度与频率的关系
尺度越大，意味着小波函数在时间上越长，即被分析的信号区间越 长。因此，尺度越大意味着对信号的较长的时间段进行近似比较，主要 获取的是信号的低频特性。反之，尺度越小，意味着只对信号的较 小的细节部进行比较，因此主要获得的是信号的高频特性。 小尺度 大尺度 压缩的小波 拉伸的小波 快速变换的细节 缓慢变换的粗部 高频部分 低频部分
二.小波变换的基本概念
5. 信号的重构（ 逆小波变换 Inverse Wavelet Transform）
信号 f (t) 可由小波系数进行重构
1 f (t ) C
dadb W f (a, b) a,b (t ) a 2


C
( )
2


d
二.小波变换的基本概念
8. 离散小波变换
（1）一阶滤波：近似与细节
（2）离散小波的多尺度分解 按照上述一阶滤波的过程，信号的低频部分可
以被继续分解，从而实现了小波的尺度分解
举例：对一个实际的信号进行小波分解
说明：信号的最大分解层数计 算如下，如果信号的长度是N, 则可以最多分解 log 2 N 层。
利用小波的多尺度分解，可以
小波分析
Wavelet Analysis
已学知识回顾：
傅氏级数、傅氏变换实现了信号分析从时域转换至频域。
引言:从一个例子映射出小波分析在信号处理中的作用
桌子上一碗果冻和一碗炸酱面，一个勺子和一双筷子 问题：请选择吃果冻和吃炸酱面分别用什么？ 择勺子吃果冻， 选择筷子吃炸酱面 果冻成分单一，外表圆滑； 炸酱面成分多样，外表不光滑 勺子的外表也是圆滑的 ； 筷子的外表是多棱角，开度可变。
FFT分析是以正弦信号为基函数，而小波分析是以小波基为基函数。
FFT的正弦函数
时域无 限的等幅振荡
Daubechies4小波函数
时域有 限的衰减振荡信号
对于信号成分单一的稳定信号，使用FFT可以得到较好的结果 而对于信号成分多样，包含突变因素的信号小波有很大的优势。
一.FFT、STFT到Wavelet
例：小波分解与重构
二.小波变换的基本概念
例：小波分解与重构
6.连续小波运算的基本步骤 1.选择一个小波函数，将其与要分析的信号起点
对齐；
2.计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼 近程度，即计算小波变换系数C。C越大，说明
此刻信号与所选小波函数波形越相近;（如图1）
3.将小波函数沿着时间轴向右移动一个单位时间， 然后重复1、2步骤，求出此时的小波变换系数C， 直到覆盖完信号的时间长度;（如图2） 4. 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然 后重复1、2、3步骤（如图3） 5.对所有的小波函数尺度重复1、2、3、4步骤。
3、信号非平稳特性分析
在各种振动信号中常常存在有一些突变信号，它们在多数情况下都 对应于设备的故障等因素，突变信号通常分为边缘跳变和峰值跳变两类， 可以将它们等效地认为在信号上叠加一个阶跃信号和脉冲信号。这种突 变信号的小波变换结果通常反映为过极值点和零点，例如使用二次样条
函数作为小波函数，则阶跃信号将反映为极值点，脉冲信号将反映为过
( SFTw f )( , b)


f (t ).w(t b)e j .t dt
3.Wavelet Analysis
小波变换是时间－尺度（时间－频率）分析方法，具有多分辨率分析的 特点，即窗口大小固定但其形状可改变，时间窗和频率窗可改变的时频 局部化分析方法。
在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率；
零点。
4、用于机器运行状态监测和故障诊断
小波包能量谱监测。实际振动中一些常见的摩擦、冲击等信号，一般
不能以某些正弦分量来表示。因此，有时采用按频带进行能量监测的方 法，比频谱分析更为合理。
实际应用
1.信号时频分析
A4信号是不平稳的低频波动，是由于电铲挖掘过程中变工况引起的，并非故障， 但它使振动信号变得极不平稳，不便于分析，在信号分析和重构时可以不予考虑。
1.Fourier Analysis
FFT变换是将信号分解成不同频率的正弦波的叠加和，即把信号
投影到一组正交基 e j .t 上。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（1） 无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部
信息，即傅里叶分析是对信号的总体的统计分析。反过来讲，时域上任一时刻