运筹学灵敏度分析

A B-1A C－CB B-1A
Cj
CB XB B-1b b B-1b σ
CB
XB B E
CN
XN N B-1N
以B为基的 单纯形表 σ
0 CN－CB B-1N
Cj
CB XB B-1b CS XS σ b CB XB B-1b
CB
XB B E 0
CS
XS E B-1 CS－CB B-1
CN1
XN1 N1 B-1N1 CN1－CB B-1N1
每班产量（件数） 零件一 7 6 8 零件二 5 9 4
资源限量
300
500
可控变量：三个车间工班数， 目标：产品配套数，约束资源约束
目标为两目标取小，要转化为一个目标时 的方法。 Z=min( (7x1+6x2+8x3)/4 ,(5x1+9x2+4x3)/3) 可令y= min( (7x1+6x2+8x3)/4 ,(5x1+9x2+4x3)/3) 则上目标转化为maxZ=y (7x1+6x2+8x3)/4≥y (5x1+9x2+4x3)/3≥y
maxZ=y (7x1+6x2+8x3)/4≥y (5x1+9x2+4x3)/3≥y 8x1+5x2+3x3≤300 6x1+9x2+8x3≤500 x1,x2,x3,y≥0
例3 合理利用线材问题 现要做一百套钢管, 每套要长为2.9m、2.1m和1.5m的 钢管各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的 原料最省。 解 先看有多少种裁料方案，再进行组合和选择。方案：
… cn+m … xn+m θ i … a1n+m θ 1 … a2n+m θ 2 -1 ┇ ┇ ┇ B … amn+m θ m … σ n+m c B -1
B
第二节 对偶问题
产品 资源
I
2 4 6
II
3 6 4
原料 工时 利润
总 量 100 120
原问题：确定获利最大的生产方案 对偶问题：确定资源最低可接受 出让价格 建立两问题的模型，对比其最优解，最优目标函数 值的关系。
例5 连续投资问题。某单位有资金10万元，在 今后5年内可考虑下列投资项目，已知： 项目A：从第1到第4年每年初可投资，并于次 年末回收本利115%； 项目B：第3年初需要投资，到第5年末回收本 利125%，但最大投资额不超过4万元； 项目C：第2年初需要投资，到第5年末能回收 本利140%，但最大投资额不超过3万元； 项目D：5年内每年初可购买公債，当年末回 收本利106%。 问它应该如何安排每年的投资，使到5年末 拥有的资金最多？
两规划最优目标函数值相等 为 Z=ω=CB B-1b 此时 最优解XB= B-1b， Y= CB B-1(为原规划松弛变量在最 终表 中的检验数,即单纯形乘子）
原始问题 max z=C X s.t. AX≤b X ≥0 max C m A ≤ b
对偶问题 min ω=Yb s.t. YA≥C Y ≥0 min bT
a12 x 2 a1n x n x n 1 a 22 x 2 a 2 n x n x n2 x2 xn
a m1x1 a m 2 x 2 a mn x n
消耗的资源（吨）
x1
单位产品消耗的资源（吨/件）
剩余的资源（吨）
资源限量（吨）
2、对偶问题
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
CB 0 0 ┇ 0 -z
XB xn+1 xn+2 ┇ xn+m b1 b2 ┇ bm f
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 c1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn cn
0 xn+1 1 0 ┇ 0 0
n
AT m
≥ CT
n
第三节 对偶的经济解释
1、原始问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
产品产量（件）
max z s.t.
c1x1 a11x1 a 21x1
c2 x 2
c2 x 2 b1 b2 x n 1 x n2 x nm x nm bm 0
年份 项目 A B C
一 X1A
二 X2A X2C
三 X3A X3B
四 X4A
五
D
X1D
X2D
X3D
X4D
X5D
解：每年的投资额 应不超过手中的资 金。由于项目D每 Max z=1.15x4A+1.4x2C+1.25x3B+1.06x5D 年都可投资，且当 x1A+x1D=10 年末就可收回。所 x2A+x2C+x2D=1.06x1D 以该单位每年必然 x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D 把资金全部投出去， x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D 即投资额等于手中 x5D=1.15x3A+1.06x4D 的资金数。 xiA,xib,xiC,xiD≥0
原料2的约束
原料1的约束
原料3的约束
当市场价格低于影子价格时，企业应该买 进资源用于扩大生产，高于影子价格时， 企业应该将已有资源卖掉。
一个不起作用约束的影响价格总为0,一个起 作用约束的影子价格在资源在一定范围内 变化时是不变的。这个变化范围就是关于 资源限量bi的灵敏度 不起作用的约束是对最优解而言，该约束的 松弛变量 的值不为0
资源价格（元/吨）
c1 c2
ym 2 ym n
y m n cn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、 y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变， 总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种 价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收 益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际 产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用 于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资 源卖掉。 影子价格的计算
35 元/KG 25 元/KG
不限
原料名 每天最多供应量 C 100KG P 100KG H 60KG
单价
65 元/KG 25 元/KG 35 元/KG
解：记产品A,B,D中C,P,H的含量分 别为AC,AP,AH,BC,BP,BH,DC,DP,DH。 根据产品要求有： AC≥0.5A, AP≤0.25A BC≥0.25B, BP≤0.5B AC+AP+AH=A BC+BP+BH=B 根据原料供应量有： AC+BC+DC≤100 AP+BP+DP≤100 AH+BH+DH≤60
Ⅰ 2.9m 2.1m 1.5m 料头 2 0 1 0.1 Ⅱ 1 2 0 0.3 Ⅲ 1 1 1 0.9 Ⅳ 1 0 3 0 Ⅴ 0 3 0 1.1 Ⅵ 0 2 2 0.2 Ⅶ 0 1 3 0.8 Ⅷ 0 0 4 1.4
设用方案 Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅷ 分别裁原料 钢管x1,x2, …,x8根, 则：
Min z= x1+ x2+ x3+x4+ x5+x6+x7+x8 2x1+ x2+x3 + x4 ≥ 100 2x2+x3+ 3x5 +2x6+ x7 ≥ 100 x1+ x3 +3x4 +2x6+3x7+4x8≥ 100 x1, x2, x3, x4, x5 ,x6, x7, x8 ≥0
例子：两种产品由三种原料混合而成，A包括原料 一60%，原料二40%，B包括原料一50%，原料 二10%，原料三40%，原料一、二、三限量为 11250,4000,6000（吨）.试建立模型，求解。A 每吨25美元，B每吨10美元 maxZ=25x1+10x2 0.6x1+0.5x2≤12000 0.4x1+0.1x2≤4000 0.4x2≤6000 x1,x2≥0
例2：某工厂生产的一种产品由四个零件一和 三个零件二组成，这两种零件要用两种原 材料，由于三个车间拥有的设备和工艺不 同，每个工班原材料耗用量和零件产量不 同，问三个车间应各开多少工班，才能使 该产品的配套数达到最大。 分析：可控变量是什么，目标和约束是什 么
一车间 二车间 三车间
每班用料数 （公斤） A材料 B材料 8 6 5 9 3 8
需要求的：基可行解，θ，非基变量σ， XB
简 化 单 纯 形 表
B-1bห้องสมุดไป่ตู้
B-1
B-1Pk
初始表为单位 确定 阵（初始基） 主元 素
-Y=-CBB-1 σk
求σ，确定换入变 量xk ,计算B-1Pk ,计 算θ，确定主元素， 对简化单纯型表作 旋转变换
Cj CB XB B-1b
初始表 b B-1b
C X
起作用的约束是是对最优解而言，该约束的 松弛变量 的值为0
起作用约束， 影子价格不为0 x1=0 x3=0 不起作用约束, 影子价格为0 B C x4=0
A
O
x2=0
第四节 对偶理论
一、对偶问题的性质
1、对偶的对偶就是原始问题
max z=CX s.t. AX≤b X ≥0
对偶的定义
minω=Yb s.t. YA≥C Y ≥0
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出 三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要 求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应 如何安排生产，能使利润最大？ 产品名 规格要求 单价 原料 C 不少于 50% 50 元/KG A
B D
原料 P 不超过 25% 原料 C 不少于 25% 原料 P 不超过 50%
第六节 线性规划应用举例
例1：某工厂生产A,B两种产品，均需经过两道工 序， 每种产品需各工序加工的时间及各工序可 提供的时间如下表。生产产品B同时生产出副 产品C，每生产一吨产品B可同时得到2吨产品 C，无需费用。 出售一顿A盈利400元，B盈利1000元，C盈利 300元，而生产要报废的C每吨损失200元，经 预测C最大销量为5吨，列模型决定A,B产量， 使工厂总盈利最大。
设第i年投资各项目的资金 为xiA,xib,xiC,xiD 。数学模型为：
第二章 线性规划的对偶理论 与灵敏度分析
改进单纯型法 对偶问题 对偶理论
目标函数值之间的关系 DUAL 最优解之间的互补松弛关系
对偶单纯形法 对偶的经济解释 灵敏度分析
第一节 改进单纯型法
需要求的几个重要指标 ，不需要完全的矩阵 变换就可求得。
A
一工序 二工序 盈利 损失 2 3
B
3 4
C
工时限量
12 24
400 1000 300 -200
可控变量：设X1为A产量，X2为B产量，
X3为C销售量，X4为C报废量
目标为总盈利，约束为资源限制等
maxZ=4X1+10X2+3X3-2X4 2X1+3X2≤12 3X1+4X2≤24 X3+X4=2X2 X3≤5 X1,X2,X3,X4≥0
设AC,AP,,DH分别为x1,x2,,x9，有 Max z=50(x1+x2+x3)+35(x4+x5+x6) +25(x7+x8+x9) - 65(x1+x4+x7) - 25(x2+x5+x8) - 35(x3 +x6 +x9) x1≥0.5(x1+ x2+ x3) x2 ≤0.25(x1+ x2+ x3) x4 ≥0.25(x4+ x5+ x6) x5 ≤0.5(x4+ x5+ x6) x1+ x4+ x7≤100 x2+ x5+ x8≤100 x3+ x6+ x9≤60 xj≥0, j=1,2,3,4,5,6,7,8,9
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
… … … … ┇ … …
O
0 xn+m 0 0 ┇ 1 0 θ
i
E
θ 1 θ 2 ┇ θ m
最优单纯形表
CB ci1 ci2 ┇ Cim -z
XB xi1 xi2 ┇ xim b1 b2 ┇ bm f
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn cn+1 xn xn+1 a1n a1n+1 a2n a2n+1 ┇ ┇ amn amn+1 σ n σ n+1
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
总利润（元） 资源限量（吨）
min s.t.
w
b1 y1
b2 y2
bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym ym 1 a12 y1 a22 y2 am 2 ym ym 2 y1 y2 ym ym 1 a1n y1 a2 n y2 amn ym