概率第七章习题答案

第七章 参数估计习题参考答案

1．设,0

()0, 0x e x f x x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求θ的矩估计。

解 ,0

dx xe EX x ⎰+∞

-=θθ设du dx u x x u θ

θ

θ1

,1

,=

=

=

则0

0011

1()0()u u

u EX ue du ue e du e θθθθ+∞+∞--+∞

--+∞⎡⎤⎡⎤==-+=+-⎣⎦⎢

⎥⎣⎦⎰⎰=θ

1

故1EX

θ=

，所以x 1ˆ=θ

。 2. 设总体X 在[]b a ,上服从均匀分布，求a 和b 的矩估计。

解 由均匀分布的数学期望和方差知

1

()()2

E X a b =+ （1）

21()()12

D X b a =- （2）

由（1）解得a EX b -=2，代入（2）得2)22(121a EX DX -=，

整理得2)(3

1

a EX DX -=，解得

()()a E X b E X ⎧=-⎪⎨

=⎪⎩ 故得b a ,的矩估计为

ˆˆa

x b x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 其中∑=-=n

i i x x n 1

22

)(1ˆσ

。 3．设总体X 的密度函数为(;)!

x e f x x θ

θθ-=

，求θ的最大似然估计。

解 设)!)...(!)(!(),()(211

1n n x n

i i x x x e x f L n

i i

θ

θ

θθ-=∑===∏，则

1

1

ln ()()ln ln(!)n n

i i i i L x n x θθθ===--∑∑

11

ln ()11ˆ0, n n

i i i i d L x n x x d n θθθθ===-===∑∑ 4．设总体X 的密度函数为

,

其中 (θ＞0), 求θ的极

大似然估计量.

解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的一样本. 由极大似然估计原理,参数θ的似然函数为:

,

上式两边取对数

似然方程为

解似然方程得θ的极大似然估计量是 .

5.设总体X 的密度函数1(,)()(a

a x f x a x e a θθθ--=已知），求参数θ的最大似然估计。 解 1

1121

()(,)(...)n

a

i i n x n n a i n i L f x a x x x e

θ

θθθ=--=∑==∏

1

1

ln ()ln ln (1)ln n

n

a i i i i L n n a a x x θθθ===++--∑∑

1

ln ()0n a

i i d L n x d θθθ==-=∑

解得 ∑==n i a

i x n 1

1θ。

6．设总体X 的密度函数为

,

求α的极大似然估计量

和矩估计量.

解. 设(X 1, X 2,…, X n )是来自X 的样本. (1)由矩估计法

,

∴

.

即参数α的矩估计量是

.

(2) 由极大似然估计原理, 参数α的似然函数为

,

上式两边取对数 ,

似然方程为

,

解似然方程得到参数α的极大似然估计量是

.

7. 设1ˆθ和2ˆθ为参数θ的两个独立的无偏估计量，且假定2

1ˆ2ˆθθD D =，求常数c 和d ，使2

1ˆˆˆθθθd c +=为θ的无偏估计，并使方差θˆD 最小。 解 由于θθθθθθ)(ˆˆ)ˆˆ(ˆ2

121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=ˆE ，故得c+d=1。 又由于

2

222222221221ˆ)2(ˆˆ2ˆˆ)ˆˆ(ˆθθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最小，即使222d c f +=，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c ，代入得22)1(2c c f -+=，'42(1)0, 620c f c c c =--=-=

解得3

2

1,31=-==c d c 。

8．对方差2σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于L ？

解 由于μ的置信区间为),(2

2

αασ

σ

u n

x u n

x +

-

，故μ的置信区间长度为

L u n

≤2

2

ασ

。所以，有202ασu L n ≥

，即22

0)2(ασ

u L n ≥。 9. 设某电子元件的寿命服从正态分布),(2σμN ，抽样检查10个元件，得样本均值)(1200h x =，样本标准差)(14h s =。求 (1) 总体均值μ置信水平为%99的置信区间；

(2) 用x 作为μ的估计值，求绝对误差值不大于10（h ）的概率。

解 (1)由于σ未知，s=14（h ）,根据求置信区间的公式得 ))1(),1((2

2-+--

n t n s x n t n s x αα ))9(10

141200),9(10141200(005.0005.0t t +-

查表得25.3)9(005.0=t ，故总体均值μ置信水平为%99的置信区间为