空间向量求距离

⑤ 异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的 距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理 和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。
小结：
1、怎样利用向量求距离？
① 点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定 向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对 值）。 ② 点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。 ③ 直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。
④ 平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距 离。
例4
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
C1
z
B1
A1
C A B
x
E
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ ABC 中 , AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D M A B C
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz 则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )

N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
B n
b a
A
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
2 x 2 y 0 F n EF， n EG 2 x 4 y 2 0
P
d
PA n n
M

O n N
A
结论2
异面直线间的距离可以通过， 在两条直线上任意各取一点 A、B， 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
d AB n n

M
a n N B b
评述：
此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数 的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离
2 2 1 1 a , 0, 0) N ( a , a, a ) ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, ∴ M ( 2 2 2 2
1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 m ( 2,1, 1)
2 11 . 11
x D
C
F
A E y B
练习2: 正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的 距离 DD n 1 Z C1 d D1 n B
A1
1
G
D B
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X
C Y
三、求平面与平面间距离 例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离 AD n Z D1 C1 d n B
1 1 1
取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点C , A, CA (1,0,0).
A
B
x
E
y
| n CA | 2 3 CE与 AB1的距离d . |n| 3
练习4
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面 直线DA1与AC的距离。 z
A1
1
D A X B
C
Y
练习3、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d
AB n
A1
N
D1
F
C1
n
x
A
M B1 D B
E C
y
四、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n
D1 C1 A1
B1
C y B
D A
x
练习5:如图,
ABCD是正方形，SB 面ABCD，且SA与 面ABCD所成的角为 45，点S到面ABCD的 距离为1，求AC与SD的距离。
S z
B C D
A
y
x
结论1
点 P 到平面的距离可以通过， 在平面内任取一点 A，求向量 PA在 平面的法向量 n 上的投影来解决.
∴d=| PA ||cos PA, n |=
| n|

A
=
O
| PA | | n | | cos PA, n |
| PA n | |n|
.
一、求点到平面的距离
P M
d
PA n n

O n A
N
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
∴ MA 在 n 上的射影长 d
MA n n a a A MNC 即点 到平面 的距离为 . 2 2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
d
| n BE| n
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
x D
C
F
A E
y
B
例 :1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝ 2，求点 z B 到平面 EFG 的距离 . G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
空间向量之应用3 利用空间向量求距离
一、求点到平面的距离
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.