不等式约束的极值问题及其经济学应用

于是，该问题库恩—塔克条件中的
L x 1 * ,x 2 * ,* ,s * 0 ,s * L x 1 * ,x 2 * ,* ,s * 0 ,s * 0
s
s
*0, s**0, s*0
…(5-8)
可写为： 2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
对 (5-7) 式的 L 在λ* 处求导可得：
2020/3/30 L(x , x ,λ, s) = f(x , x ) +λ[ – g(x ,
§5.3 库恩—塔克条件
这样一来，求解原不等式约束极值 问题 (5-5) 就变成了求解仅带有非负约束 的 Lagrange 函数的极值问题，即 (5-5) 等价于：
max L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[…–(g5-(7x)1 , x2) – s ]
L x 1 * , x 2 * ,* ,s * g x 1 * ,x 2 * s * 0 s * g x 1 * ,x 2 *
于是，(5-8) 式可写为：
* 0 ,g x 1 * , x 2 * * 0 ,g x 1 * , x 2 * 0…(5-9)
[A
点]
f ’(x*) = 0 ，且 x* = 0
[B
点]
2020/3/30
f ’(x*) < 0 ，且 x* = 0
[C
§5.3 库恩—塔克条件
那么，这一论述即为模型 (5-1) 问题 在 x* 处取得极大值的一阶必要条件，即 ：
f ’(x*) ≤ 0
x*f ’(x*) = 0
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
同样，求解不等式约束极值问题 (510) 就变成了求解带有非负约束的 Lagrange 函数的极值问题，即 (5-9) 等价 于：
max L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[…–(5g-1(1x)1 , x2) – s ]
s.t. s ≥ 0 , x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
首先，确定可行域（见下图）。
非线性规划的目标 x2
就是从可行域内选择一
10
点 (x1*, x2*) ，使其目标 函数值最小。对于本题
来讲，实际上就是要以
(5, 10) 为圆心的同心圆
的半径最小。
O
58
x1
2020/3/30
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
s.t. max f(x, y) = x + y 2x2 + y2 – 54 ≤ 0 x ≥ 0， y ≥ 0
首先，确定可行域（见下页图）。
2020/3/30 非线性规划的目标就是从可行域内选择一点
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得直线与坐标轴 的截距最大。 即：直线与可行域相切。
即：这个同心圆与可行域相切。
在这个切点，圆的切线斜率与直线斜率 相等。
所以，我们首先求圆的切线的斜率 。目标函数可以重写为：
dx2(x1
– 5)2
x1 5
+
(x2
–
10)2
–
C
=
0
对其求d全x1微分x2可1得0 ： 2(x1 – 5)dx1 + 2(x2 –
10)dx = 0 2020/3/30
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
1. 两变量一约束极值问题的库恩—塔克条件
两个变量一个约束条件的极值问题
可写为：
…(5-5)
max y = f(x1 , x2)
2020/3/30
s.t. gm(xax1 , xy2=) f≤(x01 , x2)
s.t. g(x1 , x2) + s = 0
在这个切点，椭圆 切线的斜率与直线的斜 率相等。
2020/3/30
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所以，我们首先求椭圆的切线的斜
率。对椭圆求全微分，得：4xdx + 2ydy =
0 。 dy 2 x
dx y
2x 1y2x y
整理得：
，于是有2x： y
2x2 y2 54
与 2x2 + y2 – 54 = 0 建立方程组得：
2020/3/30
**
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
例子 3 ：利用图解法求解下列极大化模型 均衡解
max f(x, y) = x2 + y2
s.t.
2x2 + y2 – 54 ≤ 0 x ≥ 0， y ≥ 0
首先，确定可行域（见下页图）。
2020/3/30 非线性规划的目标就是从可行域内选择一点
xi
0
x* 0
i
1,2
,...,
n
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
二、简单的不等式约束（不局限于仅存在 非负约束）极值问题的库恩—塔克条件
前面的分析，我们仅仅是考虑了非负约束而 未考虑其他约束，下面我们就开始研究考虑不等 式约束效应的情形，即本章开头给出的一般化的 模型。我们仍然从简单的情形入手。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得以 (0, 0) 为圆 心的同心圆半径最大。 即：圆与可行域相切。
在这个切点，椭圆 切线的斜率与同心圆切 线的斜率相等。
2020/3/30
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所以，我们首先求椭圆的切线的斜
率。对椭圆求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。 dy 2 x
我们先来看单变量的情形： [f(x)是连续
可微的]
max y = f(x)
…(5-1)
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
由于约束条件 x ≥ 0 ，因此说模型 (5-1) 式的最优解可能会存在三种情况：
第一种情况：y 的极大值对应的均衡解
x* 出现在可
y
行域的内部。 A
必要dd在条xy* 这件f '种为x*情：0况下，一阶O
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
则模型 (5-3) 问题在 x* 处取得极小 值的一阶必要条件可写为：
f ’(x*) ≥ 0 x*f ’(x*) = 0 x* ≥ 0 亦即其为模型 (5-3) 最优化问题的库恩—
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
同样，将模型 (5-3) 推广至多变量的
情形（但仍然只存在非负约束而无其他
约束），则模型 (5-3) 的最优化问题可写
(5-4为)…：
则在 x*处取极
min y = f(x) 小值的库恩—
其中：
塔克条件为：
s.t. x ≥ 0
x = (x1 , x2 , … , xn)，
f(x) 为连续可微函数。
f x*
xi
0
xi
f x*
dx y
整理得：2xdx2ydy0。 然d后y，x对圆求全微
分，得：
dx y
36
x * ,y *0 ,36
2020/3/30
*
*
§5.3 库恩—塔克条件
一、简单不等式约束（仅存在非负约束） 极值问题的库恩—塔克条件
为得到一般化的不等式约束的库恩—塔克条 件，我们首先来分析简单的不等式约束的库恩— 塔克条件，即仅有非负约束而无其他约束。
L x 1 * ,x 2 * ,* ,s * 0 ,s * L x 1 * ,x 2 * ,* ,s * 0 ,s * 0
s
s
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
对 (5-7) 式的 L 在 s* 处求导可得：
Lx 1 * ,x 2 * ,* ,s* * * 0 s
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
所以， (5-5) 式这一极大化问题的库恩—塔克 条件可概括为：
2020/3/30
L x 1 * ,x 2 * ,* ,s* 0 , L x 1 * ,x 2 * ,* ,s* 0
x 1
x 2
*gx1 *,x2 *0
* 0
gx1 *,x2 * 0
0
x = (x1 , x2 , … , xn)， f(x) 为连续可微函数。
x* 0
i
1,2
,...,
n
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
同样，我们也可以研究非负约束的极小值问题。
我们还是先来看 单变量的情形：
min y = f(x)
…(5-3)
s.t. x ≥ 0
同样，最优解也可能会存在三种情况：
2020/3/30
§5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式
不等式约束极值问题和等式约束极值问题的 主要区别在于约束条件确定的决策变量取值范围 不同，即可行域不同，从而导致目标函数均衡解 的位置不同，等式约束极值问题的均衡解在可行 域的内点处取得，而不等式约束极值问题的均衡 解可能位于可行域的端点上，那么，在这种情形 下求解最优化问题需要利用库恩—塔克条件。
满足不等式组的 x 构成的集合 D 称 为可行域，D 中的点称为可行点。如果
2020/3/30
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所谓的简单的不等式约束极值问题
是指自变量个数不超过两个的极值问题 。
例子 1 ：利用图解法求解下列极小化模型 均衡解
10)2
2020/3/30
min C = (x1 – 5)2 + (x2 – 5x + 4x ≤ 40
§5.3 库恩—塔克条件
如果模型 (5-5) 式中的决策变量也有非负约束，
即：
max y = f(x1 , x2) s.t. g(x1 , x2) ≤ 0
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 构造 Lagrange 函数：
…(5-10)
2020/3/30 L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 ,
于是有
x1 5 x2 10
5 4
5x2 = –30
，整理得：4x1 –
与 5x1 + 4x2 = 40 建立方程组：
4x1 – 5x2 = –30
5x1
+
4x2
=
40x1*,x2*
80,310 41 41
2020/3/解30 方程组，得均衡解：
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
例子 2 ：利用图解法求解下列极大化模型 均衡解
在约束条件中 s ≥ 0
…(5-6)
§5.3 库恩—塔克条件
由 (5-6) 可知，在松弛变量 s 的帮助 下，不等式约束问题就变成了相应的等 式约束问题，如果没有非负约束 s ≥ 0 ， 我们就可以通过构造 Lagrange 函数的方 法来求解最优值问题。
不管怎样，我们先来构造 Lagrange 函数 ：
2020/3/30
§5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式
令 x = (x1, x2, …, xn) ，f(x) 和 g(x) 是连续的 实值函数，则不等式约束的极值问题的数学模型 的一般形式为：
max y = f(x1, x2, …, xn)
s.t. gi(x1, x2, …, xn) ≤ 0 ，i = 1, 2, …, m
s.t. s ≥ 0
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
假设这一非负约束极大值问题的均
衡解为（x1*, x2*,λ*, s* ），那么根据 (5-2) 式，我们就可以写出其在（x1*, x2*,λ*, s* ）处取得极大值的库恩—塔克条件。但
需 有 ： L 要 非x 1 * , 注负x x 2 * 1 ,意约* ,s 的束* 是，0 ,， 所 L 由 以x 1 * 于 其, x x 2 * 2 , 库(* 5, 恩-s * 7)— 式0 , 塔仅 克L 对x 条1 * , 变 x 件2 * , 量* 为,s * s 0
x* ≥ 0
§5.3 库恩—塔克条件
将模型 (5-1) 推广至多变量的情形（
但仍然只存在非负约束而无其他约束）
，则模型 (5-1) 的最优化问题可写为：
(5-2)… max s.t.
其中：
y = f(x) 则在 x*处取极
x≥0
大值的库恩— 塔克条件为：
f x*
xi
0
xi
f x*
xi
x* 出现在可
行d 域d y 的* x 边f'界x * 上 0 ，但不能保
证一阶必要
y
条件
C。
dd在xy* 这f '种x*情0况下，一阶 D
必要条件为：
2020/3/30
Leabharlann Baidu
O x*
x
§5.3 库恩—塔克条件
从上面的讨论来看，模型 (5-1) 问题 的极大值点存在的必要条件是如下三个 条件之一：
f ’(x*) = 0 ，且 x* > 0
x*
x
2020/3/30
§5.3 库恩—塔克条件
第二种情况：y 的极大值对应的均衡解
x* 出现在可
行d 域d y 的* x 边f'界x * 上 0 ，但仍能保
证一阶必要
y
条件
B。
dd在xy* 这f '种x*情0况下，一阶
必要条件为：
2020/3/30
O x*
x
§5.3 库恩—塔克条件
第三种情况：y 的极大值对应的均衡解