2018届高三理科数学答题模板 立体几何中角度问题

高考立体几何中角度问题

【直线与平面所成的角】

直线与平面所成的角的定义：

①直线和平面所成的角有三种：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00.

②取值范围：00≤θ≤900．

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。

【求直线与平面所成的角的方法】

(1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小．

(2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则

【异面直线所成的角】

异面直线所成角的定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。

【求异面直线所成角的步骤】

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置

上。B、证明作出的角即为所求角；C、利用三角形来求角。

【二面角】

半平面的定义：一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，

就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。

直二面角：面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。

求二面角的方法：(1)定义法．(2)三垂线法．(3)垂面法．(4)射影法．(5)向量法．

【2017年高考全国II卷,理19】

如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,

E是PD的中点．

（1）证明：直线平面PAB；

（2）点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值．

（2）由已知得,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,,

设,则,

因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而是底面ABCD的法向量,

所以,,即．①

又M在棱PC上,设,则．②

由①②解得(舍去),．

所以,从而．

【考点】判定线面平行、面面角的向量求法

【点拨】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,②利用方程思想进行向量运算,要认真细心、准确计算．

（2）设m ,n 分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与互补或相等,故有|cos θ|＝|cos|=

．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

答题思路

【命题意图】 高考对本部分内容的考查以应用为主,重点考查利用空间向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及空间想象能力、运算能力及分析问题解决问题的能力.

【命题规律】 高考试题立体几何解答题通常分2问,第一问一般是证明线面位置关系,第二问多是求求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角,该问一般是利用空间向量求解,从近几年高考试题来看,该题属于得分题,第一问失分的主要原因是步骤不规范,第二问失分的主要原因是运算失误. 【答题模板】解答本类题目,以2017年试题第二问为例,一般考虑如下三步： 第一步：建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标 建立空间直角坐标系

,确定

,

,

,

,

,

坐标

第二步：求出两平面法向量的坐标 先确定

是底面ABCD 的法向量,

再设是平面ABM 的法向量,根据求得．

第三步：利用公式求二面角 根据确定二面角的余弦值．

【方法总结】

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0.

2．利用向量法证明立体几何问题,可以建坐标系或利用基底表示向量；建立空间直角坐标系时,要根据题中条件找出三条互相垂直的直线. 3．两条异面直线所成角的求法

设a ,b 分别是两异面直线l 1,l 2的方向向量,则

用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值． 4.直线与平面所成角的求法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为θ,a 与n 的夹角为β,则sin θ＝|cos β|＝|a ·n |

|a ||n |.

5．求二面角的大小

(1)如图①,AB ,CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB →,CD →

〉．

(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1,n 2〉|,二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 6.利用向量求空间角的详细步骤 第一步：建立空间直角坐标系． 第二步：确定点的坐标．

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标． 第四步：计算向量的夹角(或函数值)． 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．

第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．

7.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想． 8.易错警示