1.2.1 平面的基本性质 学案1 高中数学 必修二 苏教版 Word版
高中数学(苏教版必修2)同步文档第1章 1.2.1 平面的基本性质 Word版含解析
点、线、面之间的位置关系平面的基本性质．借助实例，直观了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理平面的概念及表示阅读教材～公理以上部分内容，完成下列问题．．概念厚薄平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有，是的．无限延展图－－．表示()图形表示置平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放正方形的的直观图作为平面的直观图(如图－－)．()字母表示α，希腊字母平面通常用β，，表示，也可以用平行四边形的两个相对顶…γ表示，如平面点的字母α、平面等．．点、线、面位置关系的符号表示如果直线⊂平面α，直线⊂平面α，∈，∈，且∈，∈，那么下列说法正确的是．(填序号)①⊂α；②⊄α；③∩α＝；④∩α＝.【解析】∵∈，∈，⊂α，⊂α，∴∈α，∈α.而，确定直线，根据公理可知⊂α.故填①.【答案】①教材整理平面的基本性质阅读教材～，完成下列问题．．平面的基本性质()公理：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上所有的点两点都在这个平面内．用符号表示为：⇒⊂α. ()公理：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公的集合是经过这个公共点的一条共点直线．用符号表示为：⇒α∩β＝且∈.()公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．．平面的基本性质的推论()推论：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．两条相交直线()推论：经过，有且只有一个平面．()推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》4
1.2.1平面的基本性质1教学目标:（1）初步理解平面的概念；（2）了解平面的基本性质（公理1-2）（3）能正确使用集合符号表示有关点，线，面的位置关系；（4）能运用平面的基本性质解决一些简单的问题教学重点平面的基本性质教学难点正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质教学过程一、问题情境1复习直线的特征2通过前面的学习我们知道平面多边形沿某一方向平移形成棱柱，那么直线沿某一方向平移会形成什么图形呢？（学生讨论）3现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象它们的共同特征主要有哪些？二、学生活动学生思考、联想，列举出诸如平静的水面，广阔的草原，平坦的足球场地，平滑的桌面，黑板表面等等，学生归纳出这些表面的共同特征是：平的，与厚薄无关三、建构数学1平面（1）和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的集合概念，它没有厚薄，是无限延展的2直线可以看成是点的集合，所以平面可看成直线的集合，也可看成是点的集合2平面的表示（1）图形语言：通常用平行四边形来表示平面αβγ…表示，也可用平行四边形对角顶点的字母表示（2）符号语言：通常用希腊字母,,3平面的基本性质数学实验1:把直尺和桌面分别看做一条直线和一个平面(1)若直尺的两个端点在桌面内，问直尺所在直线上各点与桌面所在平面有何关系？(2)若直尺有一个端点不在桌面内，直尺所在的直线与桌面所在的平面的关系如何？引导学生归纳出平面的基本性质一：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
图形语言符号语言A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭ 公理1的作用:一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上有两个点在平面内即可；二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内数学实验2:请大家拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？引导学生归纳出平面的基本性质二：公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
高中数学新苏教版精品教案《1.2.1 平面的基本性质》
平面的根本性质及推论教学设计一、教材分析本课是“平面〞的第二课时，是在最根本“平面〞知识以及了解点、线、面图形语言及符号语言的根底上进一步研究平面的根本性质．平面的根本性质是研究立体几何的根本理论根底，是学生能否学好立体几何的关键之一．二、教学目标1理解平面根本性质1、2、3,和平面根本性质的三个推论2初步了解空间直线与平面、平面与平面的位置关系；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4、能从实际生活中抽象出数学模型并利用一些几何的理论去解释生活中的现象。
三、教学重难点：重点：理解平面的三条根本性质及推论；难点：运用集合语言描述点、直线、平面之间的关系；运用平面根本性质及其推论解释生活中遇到的一些问题；四、任务分析这节课是立体几何学习的根底，但由于学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如在墙上固定木条至少需要两根钉子、自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的笔去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面、门与门框之间的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的根本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的根底上开展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．五、教学设计〔一〕复习1平面的概念及特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
2平面的表示3 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系〔二〕问题情景1问题1：如果想将一张长形纸条固定在黑板面上至少需要确定几个点？为什么？2思考1：如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？3问题2：观察以下图片，你能得到什么结论？4问题3：如果想将一张长形纸片固定在黑板面上至少需要确定几个点？这些点需要满足什么位置关系？5思考2：用手指头将一张硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？6思考3：把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在的平面与桌面是否交只相交于一点P？为什么？对此你有什么结论？〔利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与笔、三角板与平面相交、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活泼课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题〕〔三〕建立模型1 探究公理〔1〕问题1、2，思考1的探究教师提出问题，引发学生思考：回忆初中学到过的两点确定一条直线，并将学生思维中的点、线关系拓宽到点、线、面三者之间的关系。
江苏省2019年年高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
苏教版数学高一《平面的基本性质》 精品导学案
（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线 a 上；（2）平面α与平面β相交于直线 m ，直线 a 在平 面α内且平行于直线 m.2.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
4.例题例1. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，画出平面A 1C 1D 与平面B 1D 1D 的交线.例2. 如图，已知△ABC 的各顶点在平面α外，直线AB 、BC 、AC 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线. 提问：（1）平面几何中证明三点共线是怎样证明的？（2）这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结 点P 、点Q ，得直线PQ ，大家能够证明点R 也在直线PQ 上吗？例3.已知：空间四边形ABCD ，平面四边形EFGH 的 顶点分别在空间四边形的各边AD,AB,BC,CD 上,若EF 与GH 不平行，求证：三条直线EF,GH,BD 共点。
5.巩固练习1.点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P ，求证：P 在直线BD 上。
2.测试反馈P51--526.预习总结 通过预习已掌握的知识需要与同学交流的问题需要老师重点讲解的问题1A B1 1C1D A B CD•A B C EHF P GD1.2.1平面的基本性质（2）一.预习范围：必修2 P21～22二．预习目标：1．了解公理3，推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．2：公理3及三个推论的理解和应用．.三.预习任务：1.知识梳理公理1 公理2 公理3公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．已知：，求证：过点A和直线l有且只有一个平面。
证明：符号表示推论2：符号表示推论3：符号表示2.预习检测教学与测试P5 双基演练例1，3.预习提高1.如图，直线AB、BC 、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.能证明吗提问：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？思考:三条直线a,b,c两两相交，那么a,b,c可以确定几个平面？说明你的理由。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》
课题：平面一、教学目标1联系实际了解平面的3个公理，能用文字、图形、符号三种语言进行描述；2通过直观感知、操作确认、归纳总结加深对公理的认识；3初步培养学生的空间想象能力。
二．教学重点、难点教学重点：正确理解3个公理。
教学难点：用符号语言表达点、线、面的位置关系。
三、教学过程课题性问题：上一节我们已经对简单几何体有了直观的认识。
简单几何体是由空间的点、线、面所构成的，本节我们将对点、线、面的位置关系进行讨论。
空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？初中我们已经学习了点和直线的概念，本节课我们将学习平面概念及平面的相关性质。
问题1：如何理解平面及其表示？先行组织者：什么是数学？恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门科学。
〔1〕数学首先具有高度的抽象性。
物理、化学、生物等学科，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。
而数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。
〔如何理解平面？〕〔2〕数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。
数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，使得数学语言成为人类文明的共同语言。
如等任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。
〔符号语言〕数学语言是宇宙文明的共同语言，202170年代，美国发射一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人〞取得联系。
为了让星外文明了解地球文明，这艘飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上动物、植物、微生物的照片，各种年龄、性别、民族的人的照片，还带去了许多声音，如狂风暴雨、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈〞的声音，同时还带去了刻有黄金制作的图板，如下图：〔图形语言〕伽利略认为：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。
〞数学语言最明晰、严谨、简洁、标准、通用。
综上，数学语言包括：文字语言、图形语言、符号语言。
高一数学导学案 1.2.1平面的基本性质(2)学案苏教版必修2
课题：平面的基本性质(2)学习目标：1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．2．初步学习立体几何中的证明．学习重点：三个推论的理解和应用．学习难点：推论的正确理解和正确应用．一、预习提纲：1．完成下表：2．问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ○1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○2两条相交直线呢？ ○3两条平行直线呢？为什么？3．公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．已知： ，求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面。
证明：类似地，得出以下两个推论：推论2： 。
已知： ，求证：经过两条相交直线,a b 的平面有且只有一个。
证明：证明：(存在性)：设ab C =，在a 上取不同于点C 的点A ，则A b ∉，由推论1得，过直线b 和点A 有一个平面α，,A C αα∈∈，a α∴⊂，因此，经过,a b 有一个平面α。
(唯一性)：经过,a b 的平面一定经过A 和b ，由推论1，这样的平面只有一个， 所以经过两条相交直线,a b 的平面有且只有一个。
推论3： 。
二、课堂展示：例1：已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。
分析：∵直线l 与点D 可以确定平面α，∴只需证明,,AD BD CD 都在平面α内。
证明：例2：如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
分析：确定两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点，过这两点的直线就是这两个平面的交线(即找公共点或公共棱)。
例3．若l αβ=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。
A B C D lαA 11A1B1C1DABCD三、反馈检测：1、若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条；2、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个；3、给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是 ．4、在正方体1111ABCD A B C D -中，1） 1AA 与1CC 能够确定一个平面？2）点1,,B C D 能否确定一个平面？3）画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线；4）P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。
苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质 教案1
平面的基本性质（1）教学目标：掌握平面的表示方法，理解平面的基本性质。
掌握立体几何的符号语言。
教学过程： 一.平面1.平面的概念；平面是一个不加定义的概念，具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点.2.平面的特征；“平”、“无限延展”、“无厚薄”3.平面的画法；通常我们画出直线的一部分来表示直线；同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.通常画平行四边形来表示平面.在画平行四边形表示平面时，所表示的平面如果是水平平面， 通常把锐角画成45°，横边画成邻边的两倍. 如果是非水平平面，只要画成平行四边形.如果几个平面画在一起，当一个平面有一部分被另一个 平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画. 4.平面的表示方法。
⑴在一个希腊字母γβα,,等的前面加“平面” 二字，如平面α， 平面β，平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内. ⑵用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC. ⑶用三角形表示平面，用三角形三个顶点的字母来表示，如平面ABC. 5.用符号语言表示：空间图形的基本元素是点、直线、平面，从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合.因此，它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可以借用集合中的符号语言来表示.（1）点在直线上、点在直线外；（2）点在平面内、点在平面外；（3）直线在平面内、直线在平面外、直线与平面相交二.平面的基本性质请大家拿出你的一把尺，如果把桌面看作一个平面，把你的尺看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的尺所代表的直线上的所有点都能在桌面上？1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 图形语言： 符号语言：公理1的应用：⑴判定直线或点是否在平面内；⑵检验平面.请大家拿起一本书，把这本书的一个角放在桌面上，如果我们分别把这本书和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系？2.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.图形语言： 符号语言：公理2的应用：⑴判断两个平面是否相交；⑵判定点是否在直线上.A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭直线 P l P lP ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线.为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程？在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢？ 3.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言：如何理解公理3中的“有且只有一个”？ “有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一. 公理3的应用：⑴确定平面；⑵证明两个平面重合. 三.应用举例 例1.已知命题：①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是50m ，宽是20m ； ③黑板面是平面；④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. 其中正确命题的序号是________.例2.一条直线经过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点？为什么？例3.已知:AB C ∆在平面α外,Q BC R AC P AB =⋂=⋂=⋂ααα,,,求证:P ，Q ，R 三点共线.,,,,A B C A B C αααα⇒∈∈∈三点不共线有且只有一个平面，使总结：要证明空间诸点共线，通常证明这些点 . 例4.为什么用两个合页和一把锁就可以固定一扇门，有的自行车旁只安装一只撑脚呢？例5.如图，M 是正方体1111D C B A ABCD -棱1BB 的中点. ⑴作出由M C A ,,11三点所确定的平面与正方体表面的交线； ⑵试作出平面M C A 11与 平面ABCD 的交线．作业： 班级： 姓名： 学号 1.若点M 在直线a 上，a 在平面α内，则M ，a ，α间的关系用符号表示为 （ ）A ．M ∈a ，a ∈αB ． M ∈a ，a ⊂αC ．M ⊂α，a ⊂αD ．M ⊂α，a ∈α2.用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是 （ ）.A. α∉∈l l A ,B. α⊄∈l l A ,C. α⊄⊂l l A ,D. α∉⊂l l A , 3.下列叙述中，正确的是（ ）.A.因为 αα∈⊂A a , ，所以α⊂AB.因为 αα∈⊂A a , ，所以α∉AC.因为 l A A =⋂∈∈βαβα,, ，所以l A ∈D.因为α⊂∉l l A ,，所以α∉A 4.下列叙述中，正确的是（ ）A ．ααα∈∴∈∈PQ Q P ,,C ．αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,, B ．PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,D ．AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,, 5.下列命题正确的个数是（ ）⑴如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；⑵过一条直线的平面有无数个； ⑶两个平面的交线可能是一条线段。
1.2.1平面的基本性质 教案2 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.2.1平面的基本性质从容说课立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法.通过立体几何的教学，可以使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据.平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻画的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升到分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间.本课是以平面的概念和三条公理为主要内容，前面已经对空间几何体有了一定的了解，教学时可以借助棱柱、圆柱等几何模型通过实物操作，以类比的方式抽象出“平面”的概念，并运用正迁移规律，将直线的无限延伸性类比于平面的无限延展性，突破教学难点.对于用字母表示点、直线、平面三者间的关系的教学，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用.对于平面基本性质的三条公理的教学，因为其是“公理”，无需证明，教学中可以以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证.其中对于公理1的教学应以直线的“直”和“无限延伸”来刻画平面的“平”和“无限延展”，同时应该明确它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法;对于公理2的教学要抓住平面在空间的无限延展特征来讲，同时应该明确公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法;对于公理3的教学应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”.通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解，同时应该明确公理3是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.对于公理中的“有且只有一个”的含义要分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.另外，也可从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解，并通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用.教学重点1.空间点、直线、平面间的位置关系的文字、图形、符号语言表示.2.平面的基本性质的三条公理及其作用.3.公理3中“有且只有一个”的含义的理解.教学难点1.平面的无限延展性的理解.2.符号语言的正确使用.3.对于公理3中“有且只有一个”语句的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、棱柱、圆柱等几何模型、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解平面的概念,会用符号语言、图形语言表示空间中点、直线、平面的位置关系.2.了解平面的基本性质的三条公理，并能用其解释一些生活中的具体问题.3.通过由模型示范抽象出“平面”概念以及到三条公理的文字叙述培养学生观察能力与空间想象能力.4.通过对三个公理的文字语言、图形语言和符号语言的互译，培养语言转换能力提高学生的几何语言水平.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生习惯于共同思考、观察和实验.2.通过通俗意义上的平面到数学意义上的平面的学习，了解具体与抽象、特殊与一般的辩证关系，由点、直线、平面间内在的联系逐渐形成“事物总是运动变化”的辩证观点.三、情感态度与价值观借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想.教学过程导入新课(多媒体播放平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面，两个合页和一把锁就固定一扇门的图片、车旁只安装一只撑脚停放的图片，组织学生欣赏，并显示如下问题) 问题1:平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面会给你留下怎样的印象?问题2:用两个合页和一把锁就可以固定一扇门、有的自行车旁只安装一只撑脚等生活现象的理论依据是什么?问题3:如何形象直观地在纸上表示平面?如何表示点与直线、直线与平面的位置关系?(组织学生思考)师要解决以上问题，需要掌握一定的立体几何知识，这就是我们后面将要学习的知识——空间点、线、面的位置关系，我们先来研究它们的基础知识.(引入新课，书写课题——平面的基本性质)推进新课(一)平面的概念、记法及表示师在刚才欣赏的图片中，我们发现平静的湖面、广阔的草原、大漠袅袅炊烟升起的画面这些生活画面都会给我们以平面的形象.我们可以从中抽象出一个几何概念，那就是——平面.(师介绍平面的概念、表示、以及记法)1.平面的概念:平面是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念.2.平面的图形表示通常画平行四边形来表示平面〔如图(1)〕，并把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画〔如图(2)〕，也可用其他平面图形(例如三角形、圆等)表示平面.(1) (2)(师投影显示以上图形，并演示画法，生同步训练，培养学生的作图基本功)师我们已经明确了平面的概念，也能很容易地画平面的图形，那么如何用符号语言来表示它们呢?(生思考，师介绍平面的符号表示)3.平面的符号表示平面通常用希腊字母α、β、γ、…来表示,也可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来表示.师我们知道，从集合的角度来说，直线可以看作是点的集合，平面可以看作是一系列直线的集合，那么，在空间点、线、面的位置关系如何用符号语言和图形语言来表示呢?(生思考，师生共同探究空间点、线、面的位置关系的符号、图形表示)师如何用符号语言和图形语言来表示空间点、线、面的位置关系?(师展示长方体模型，组织学生观察、探究空间点、线、面的位置关系)师请同学们观察右图所示的长方体，完成如下表格.(师生共同讨论完成)空间中点、直线、平面的位置关系的符号表示:【例1】已知命题:①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚;②有一个平面的长是50 M，宽是20 M;③黑板面是平面;④平面是绝对的平，没有大小、没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确的命题是_________.(师多媒体显示，生讨论完成)师命题①:平面是没有厚度，当两个平面重合时只能看作是一个平面;命题②:平面是无限延展的，因此平面没有长和宽;命题③:黑板只是平面的一部分，不能认为它就是数学中所研究的平面;命题④所描述的正是我们数学中所研究的平面的概念.故正确的命题只有④.师直线是没有长短、粗细且无限延伸的;平面是没有边界，没有厚薄之分，没有质量，没有任何物理的、化学的属性的抽象的概念.它是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在空间问题中平面化的过程具有重要的桥梁作用.【例2】 (1)一条直线可以将平面分成两个部分，那么一个平面可以将空间分成几个部分呢?(2)两个平面可以将空间分成几个部分呢?(多媒体显示，师组织学生思考完成，并分别用图形表示)(二)平面的三个基本性质师平面都有哪些基本性质呢?我们就来通过生活实例来探究一下平面的基本性质.请同学们拿出你的一枝笔，如果把桌面看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使你的笔所代表的直线上所有点都能在桌面上?(生尝试探究，讨论交流，抽象出公理1)公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(师组织学生将公理1分别用符号语言和图形语言表示出来)如图,a AB a B a A ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈直线.合作探究:公理1说明了什么?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(师生共同探究交流得出如下结论)知识拓展:公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.师请同学们拿起一本书，把书本的一个角放在桌面上，如果我们分别把书本和桌面都看作一个平面的话，试问这两个平面是否就只有这一个公共点，如果还有其他公共点的话，它们和这个公共点有什么关系?(生讨论交流，师结合学生的讨论及时归纳总结抽象出公理2)公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.师请用图形语言和符号语言表示公理2，并在教室内寻找符合公理2的空间模型. (生讨论完成，师板书公理2的符号语言表示式)l P l P P ∈⋂⇒⎭⎬⎫∈∈且＝βαβα. 师公理2说明了空间中的什么问题?它可以帮助我们解决哪些几何问题?(生思考，师适当提示)师公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了在空间确定两个平面交线的一种方法. 师为什么当一个人在学会走路之前总会有一段爬行的人生经历，同时也有一段拄着拐杖的人生历程?在爬行与拄拐杖这两件事情中是否隐含着什么数学理论呢?(生思考，师解释，激发学生的学习积极性，并由此抽象出公理3)师由于小孩小的时候，小脑还没有发育好，身体平衡能力还很差，不能很平稳的用双脚直立并行走，所以借助于一只手和两个膝盖来确定一个平面或用两只手和一个膝盖来支撑一个平面，来使身体在爬行过程中保持平衡.在老了的时候，身体的平衡能力也会下降，借助于拐杖来支起一个平面保持身体在行走过程中的平衡，这和自行车要装一个撑脚的道理一样，你能说出其中的道理吗?生可以，那就是三点确定一个平面.师回答得很好，你对你的回答还有要补充的吗?(生思考)师不知同学们有没有留意，自行车的撑脚一般都安装在自行车的什么地方?生安装在自行车的侧面.师为什么不安装在与自行车的后轮在同一直线的某一个地方呢?生那样自行车就撑不起来了.师那么我们应该怎样完善刚才的结论呢?(生交流，抽象出公理3并用图形语言和符号语言来表示公理3，强调公理中的“不在同一条直线上”)公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.师1.如何理解公理3中的“有且只有一个”?2.公理3总结了空间中怎样的规律?它可以帮助我们解决哪些问题?(师生讨论交流，得出如下结论)师对于公理3中“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.公理3提供了空间确定平面的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要途径，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分利用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.【例3】下列叙述中正确的是()A.因为P∈α, Q∈α,所以PQ∈αB.因为P∈α, Q∈β,所以α∩β=PQC.因为AB⊂α, C∈AB,D∈AB,所以CD∈αD.因为AB⊂α, AB⊂β,所以A∈(α∩β)且B∈(α∩β)(多媒体显示，生讨论完成)师直线可以看作是点的集合,平面可以看作是直线的集合，故点和直线之间只能用“∈、∉”表示，而不能用“⊂、⊄”表示，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.解析:本题主要考查点与直线的关系、点与平面的关系、直线与平面的关系的符号表示以及对公理1、公理2的理解情况.命题A:PQ∈α表示错误，直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题B:线段PQ也可以只是两个端点分别在两个平面内，其余的点均不在这两个平面内.命题C:CD∈α表示错误.直线和平面之间只能用“⊂、⊄”表示，而不能用“∈、∉”表示.命题D:符合公理2,所以正确.(三)目标检测课本第23页练习.课堂小结(师组织学生围绕以下三个问题对本课进行总结)1.平面的概念、表示及记法.2.空间中点、线、面位置关系的图形及符号表示.3.平面的三条性质及用途.公理1为证明直线在平面内提供了依据.没有特别说明的“两个平面”，以后均指不重合的两个平面.两个不重合的平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.公理2为证明若干点共线提供了一条新的途径.公理3中，“有且只有一个”的含义:“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一.不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达出存在性的含义.布置作业课本第28页习题1.2(1)第1、2、3题.板书设计1.2.1平面的基本性质平面的图形表示和符号表示平面的三条性质例题解析与学生训练课堂小结与布置作业活动与探究1.空间的三个平面可以将空间分成几部分?四个平面呢?试分别制作模型加以说明.2.列举、搜集生活中与平面的三条性质有关的实际问题并用三个公理加以解释.参考答案:1.当三个平面平行时可以将空间分成四部分；当其中两个平面平行第三个平面和它们都相交时可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且只有一条交线时也可以将空间分成六部分；当三个平面两两相交且有三条交线时可以将空间分成七部分或八部分．（图略）2.略.习题详解课本第28页习题1.2(1)解答1.当它们不交于同一点时，共面;当它们交于同一点时，可能共面也可能不共面.2.不一定.当四个交点不共面时，所得图形就不是平面图形.3.略.4.空间不共面的四个点能确定四个平面.5.由这三条直线中的任意两条所确定的平面共有2个.6.不能.因为AD1和BB1是异面直线.7.如图，在线段AD上取一点M，使A M=A1E1,在线段AB上取一点N，使A N=A1F1,连结M E1、N F1,则四边形AA1E1M、A N F1A1均为平行四边形.∴M E1AA1,N F1AA1.∴M E1N F1，从而四边形MN F1E1为平行四边∴MN E1F1.又∵A M=CE,CF=A N,∴Rt△A MN≌Rt△CEF.∴MN =EF.同理可证M E=N F,∴四边形MN FE 为平行四边形.∴MN ??EF.∴E 1F 1EF.8.解:如图，连结BD,B 1D 1.∵E、F 分别是CD 、BC 的中点，∴可得EF∥BD.又∵BD∥B 1D 1,∴EF∥B 1D 1.则∠AD 1B 1就是异面直线AD 1和EF 所成的角.又∵AB 1=B 1D 1=AD 1,∴△AB 1D 1是等边三角形.∴异面直线AD 1和EF 所成的角为60°.9.AC 、BD 一定是异面直线.若AC 、BD 可以确定一个平面，则AB 、CD 共面，与已知矛盾.10.延长C 1M 和CB 交于P ，延长A 1M 和AB 交于Q ，则直线PQ 就是平面A 1C 1M 与平面ABCD 的交线.11.不一定是异面直线，可以借助于正方体的棱长来解释.12.(1)由E 、F 分别是AB 、BC 的中点，得EF∥AC，且EF=21AC,同理GH∥AC，且GH=21AC ，EF GH,即四边形为平行四边形.(2)由已知得EH=21BD,EF=21AC,BD=AC,所以EH=EF.由(1)得四边形是平行四边形，所以四边形是菱形.(3)当AC 和BD 垂直，且AC=BD 时,四边形EFGH 是正方形.13.如图,三棱锥A —BCD 中，E 、G 分别是BC 、AB 的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有32==FC DF HA DH .求证:EF 、GH 、BD 交于一点.分析:要证明EF 、GH 、BD 交于一点，可以先证明EF 和BD 交于一点，再证明EF 和BD 的交点在GH 上，或证明GH 过EF 和BD 的交点.证明:连结FH 、EG ，∵32==FC DF HA DH , ∴FH∥AC，且FH=52AC. 又E 、G 分别是BC 、AB 的中点, ∴GE∥AC,GE=21AC. 于是GE∥HF 且GE≠HF.∴四边形EGHF 是梯形.∴GH 与EF 延长线必相交，记其交点为P .∵P ∈GH,GH 平面ABD,∴P ∈平面ABD.同理可证P ∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴P ∈BD.∴EF、GH 、BD 交于一点.点评:本题在证明过程中，先运用题中已知条件证明GH 、EF 相交于点P ，再找出两个分别过这两条直线且交线为BD 的相交平面，进而证明该点在交线上.这是我们证明线共点问题的常用策略.证明点共线问题时，可以先确定其中两条直线交于一点，再证明其他直线过该点或该点在其他直线上。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》9
平面的根本性质〔1〕学习目标：1结合问题和实例，直观感知并了解平面的概念及根本性质〔三个公理〕2学习使用文字语言、图形语言、符号语言准确描述三个公理 3能运用平面的根本性质解决一些简单的问题4经历观察，实验，探究，发现知识的过程，提高数学抽象和空间想象能力，进一步体会数学的类比，转化，分类讨论思想，激发学习兴趣 学习重点：平面的根本性质学习难点：数学符号语言的使用，公理的简单应用学习过程： 一、学生活动，认识平面问题1：平面几何中，我们已经对点和直线有了初步的认识，现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象？对照直线，类似的，平面有哪些根本特征？如何表示？〔1〕平面的根本特征：_____________________________________〔2〕平面的表示①图形表示〔画一画〕②符号表示〔写一写〕__________________________________〔3〕直线与点的关系 点⑴ 假设将公理3中连成直线，条件变为：直线和⑵ 假设将也连成直线，条件变为：两条相交直线，能确定一个平面吗？能否举例说明？A CB⑶假设两条平行直线，能确定一个平面吗？二、课堂总结，感悟提高本节课你有哪些收获？〔知识、方法、思想、解决问题策略〕四、作业布置书后练习2-7例2在平面外，它的三边分别交平面于,求证：三点共线三、课堂小结本节课你有哪些收获？四、作业布置书后练习2-7五、课后预习背景三：骑车到学校，如何将自行车停稳？这样的现象反映了平面的什么性质？你能举出其他类似的例子吗？例4证明三角形是平面图形B延伸思考：⑴假设将连成直线，条件变为：直线和直线外一点，能确定一个平面吗？能否举出实例说明？⑵假设将也连成直线，条件变为：两条相交直线，能确定一个平面吗？能否举例说明？⑶假设两条平行直线，能确定一个平面吗？。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质(2)教案 苏教版必修2(2021年整理)
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1 平面的基本性质（2)【教学目标】1．进一步理解平面的基本性质和三个公理；2．掌握公理3的三个推论,能用图形和符号语言表示三个推论,并能用三个推论解决一些实际问题；3．学会用反证法证明简单问题．【教学重点】1．公理3的三个推论及其应用;2．共面类问题的证明．【教学难点】对公理3的推论“存在”和“唯一”性两方面证明的必要性的理解．【过程方法】1．通过师生之间、同学之间的互相交流，培养学生合作性学习的习惯；2．通过平面概念的学习，掌握点、线、面之间的内在联系．【教学过程】一、复习：1．平面的概念；2．公理1-3．二、新授：1．推论1．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．2．推论2．经过两条相交直线，有且只有一个平面．3．推论3三、例题选讲1．如图，直线AB ，BC ，CA 两两相交,交点分别为A ，B ，C ，证明这三直线共面．2．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是棱BB 1的中点，画出由A 1，C 1，P 三点确定的平面α与长方体表面的交线．3．已知一条直线与三条平行直线分别相交，证明这四条直线共面．四、方法总结1．证明点线共面的基本方法:⑴有公理3及推论，有其中的某些点、或线确定一个平面，再证其他元素在此平面内; ⑵先由其中某些点或线确定一个平面α,再由另外一些元素组成另一平面β，最后用公理3或其推论证明平面α，β重合． 2．多点共线问题的证明方法：常用方法是先证明这些元素均是两个平面的公共点，然后根据公理2得到他们都在两平面的交线上．3．多线共点的问题的证明：先证两条直线交于一点，再证这个交点也在其他直线上．它一般依据两平面的交线有且仅有一条这一公理，进而需要证明这些点是两平面的公共点，而直线是这两个平面的交线． 【课后作业】 1．判断题：⑴两条直线确定一个平面；( )d⑵若三条直线两两相交，那么三条直线在同一个平面内；（）⑶空间中，不在同一平面内的四点,一共可以确定四个平面;( ）⑷如果平面α，β有三个公共点，则平面α，β重合；（ )⑸一条线段在平面内，这条线段的延长线也在这个平面内；（ )⑹点A在直线a上，也在平面α内,则直线a在平面α内；（）⑺首尾相接四条线段可以确定一个或两个平面．( )2．⑴空间三个平面之间交线条数可能有；⑵空间三个平面把空间分成个部分；⑶空间三条直线a,b，c互相平行，但不共面,它们能确定个平面，把空间分成个部分．3．给出下列命题:⑴和直线α都相交的两条直线在同一个平面内;⑵三条两两相交的直线在同一个平面内;⑶有三个不同公共点的两个平面重合;⑷两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确的命题的个数有个．4．下列说法正确的是．⑴三点确定一个平面;⑵四边形一定是平面图形;⑶梯形一定是平面图形；⑷对边相等的四边形一定是平面图形．5．正方体各个面所在的平面将空间分成了个部分．6．三个平面两两相交,有三条交线，其中两条相交于一点，证明三条交线交于同一点．7．已知三条直线相交于P点，第四条直线与前三条直线分别相交于A，B，C,证明：这四条直线共面．。
高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)导学案(无答案)苏教版必修2(1)
江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学 1.2.1平面的基本性质（1）导学案（无答案）苏教版必修2学习目标：1.初步了解平面的概念；1-）；2.了解平面的基本性质（公理33.能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；4．能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．学习重难点：正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．一、引入新课1．平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果．平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的．2．平面的画法：3．平面的表示方法：45．平面的基本性质：公理1：文字语言描述为：符号语言表示为：公理2：文字语言描述为：符号语言表示为：公理3：文字语言描述为：符号语言表示为：二、例题剖析例1：辨析：1.10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．（）2.有一个平面的长是50米，宽是20米． （ ）3.黑板面是平面． （ ）4.平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念． （ ） 例2例3： 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图．（1）点A 在平面α内，点B 不在平面α内，点A ，B 都在直线a 上；（2）平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内且平行于直线m ．例4： 如图，ABC ∆中，若BC AB ，在平面α内，判断AC 是否在平面α内．三、巩固练习1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是____________（1）α∉∈l l A ， （2）α⊄∈l l A ， （3）α⊄⊂l l A ， （4）α∉⊂l l A ， 2．下列叙述中，正确的是____________ （1）ααα∈∴∈∈PQ Q P ,, （2）αα∈∴∈∈⊂CD AB D AB C AB ,,, （3）PQ Q P =⋂∴∈∈βαβα,,（4）AB AB AB =⋂∴⊂⊂βαβα,,3．为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？4．四条线段顺次首尾相接，所得的图形一定是平面图形吗？5．直线和平面的公共点的个数可能为 ． 6．根据下列条件画图：（1）a A a A ∈⊂∈，，αα；（2）αβα∈=⋂A l ，且β∈A ；（3）m B m B l l A A ∈=⋂=⋂∈∈，，，，βαβα；（4）ααα⊂⊂⊂c b a ，，且C a c B c b A b a =⋂=⋂=⋂，，．四、课堂小结正确使用集合符号表示点、线、面的位置关系，平面的基本性质．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》2
§平面的基本性质丹阳市第六中学张丽一、教材分析和学情分析1教材地位及作用本节课选自苏教版《数学》必修二的平面的基本性质第一课时，主要内容是平面的概念及三个公理。
平面的基本性质虽然在高考中一般以填空题型为主，但是它是研究立体几何的理论基础，也是以后论证推理的逻辑依据。
这节内容是学生已有的平面几何观念的拓展，帮助学生观念逐步从平面转向空间。
因此，掌握平面的三条基本性质至关重要。
2 学情分析学生已经掌握了平面内点和直线的概念和性质，可以通过类比进行顺应性的建构；但由于学生想象能力、思维能力较弱，一旦涉及到抽象的总结归纳，难免会束手无策。
二、定位和设计1教学目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标：【知识与技能】（1）通过列举实例，类比直线，准确抽象出平面的特点；（2）通过观察、联想，快速地用图形和符号语言表示平面并进一步表示空间中点、直线线和平面的位置关系；（3）通过操作、实验，准确理解并表述平面的三个基本性质；【过程与方法】（1）通过实例和多媒体直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力；（2）通过对生活中平面及其性质的举例、分析、解释过程，培养学生逻辑思维能力。
【情感态度与价值观】通过学生的观察、实验、操作和思维辩证，培养学生勇于批判、敢于创新的科学精神以及“数学重点难点根据教材和学生的需要，确定本节课的重难点：【重点】准确理解平面的特点和基本性质。
因为研究立体几何时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决，所以要求学生对平面的基本性质有较深刻的理解。
【难点】空间点、线、面位置关系的符号表示和平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
三、教学策略1、教法——启发式教法通过两个生活中的实例，引出课题——平面的基本性质，引起学生的注意和兴趣。
【备课精选】2012年高中数学苏教版必修二学案：1.2.1《平面的基本性质》(2)
§1.2.1 第5课时 平面的基本性质(2)学习目标：1.了解三个推论，并能运用推论解释生活中的一些现象；2.初步学会用集合符号语言推证简单命题；3.掌握确定平面的依据．学习重点：公理及其推论的理解与运用．学习难点：用符号语言推证简单命题．学习过程：一、课前准备：自学课本P21～221.复习公理1、公理2、公理3．2.推论1： ． 推论2： ． 推论3： ．3.空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ．4.空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为 ．5.如果α⊂a ，α⊂b ，l ∩A a =，l ∩B b =，那么下列关系成立的是 ． ①α⊂l ②α∉l ③l ∩A =α ④l ∩B =α6.设平面α与平面β交于直线l ，直线α⊂a ，直线β⊂b ，a ∩=b M ，则M______l ． 并给予证明．二、合作探究：例1.已知：三条直线两两相交，且不过同一点．求证：这三条直线共面．例2.如图，已知：平面ABD∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12求证：BD 、EF 、GH 过同一点．例3.已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点， AC∩BD=P ， A 1C 1∩EF=Q ．求证：⑴D 、B 、F 、E 四点共面；⑵若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R 三点共线．A B C D E H F G三、课堂练习：课本第22页练习第1～5题．四、回顾小结：1.确定平面的条件有四个：不共线的三点、直线与直线外一点、两条相交直线、两条平行直线；2.证明点线共面的常用方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证其余元素确定平面β，最后证明平面α，β是同一平面．五、课外作业：课本P27习题1.2：第1～4题 课课练六、自我测试：1.下列叙述中，正确的是 ．①对边相等的四边形一定是平面图形； ②四边相等的四边形一定是平面图形； ③有一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；④有一组对角相等的四边形是平行四边形．2.将下列命题改写成语言叙述，并判断它们是否正确：⑴若A ∈α，B ∉α，则直线AB α⊄；⑵若A ∈α，B ∈α，C ∈AB ，则C ∈α；⑶若A ∈α，A ∈β，A ∈a ，则α∩a =β．3.如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为_______________．4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 交平面ABC 1D 1于点M , 试作出点M 的位置．5.已知：直线a ∥b ∥c ，且直线l 与a ，b ，c 都相交． 求证：这四条直线共面．。
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平面的基本性质（2） 学案
班级 学号 姓名
学习目标
（1）了解平面的基本性质中公理3的三个推论：推论1、推论2、推论3； （2）能应用公理3及其推论解决简单的问题． 课前准备
1.下列例题中，正确的是
⑴梯形的四个顶点在同一平面内； ⑵三条平行的直线必共面；
⑶有三个公共点的两个平面必重合;⑷每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面。
2.下列推理错误的是
（1）A l ∈，A α∈，B l ∈，B α∈⇒l α⊂；
（2）A α∈，A β∈，B α∈，B β∈⇒AB αβ= ；
（3）l α⊄，A l ∈⇒A α∉；
（4）,,A B C α∈，,,A B C β∈，,,A B C 不共线⇒α和β重合。
课堂学习 一、重点难点
重点：平面性质的三条推论，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言． 难点：平面性质的三条推论的掌握与运用。
二、知识建构
问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么， ①一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ②两条相交直线呢？
③两条平行直线呢？为什么？
推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面
符号语言：
已知：直线l ，点A 是直线l 外一点，求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
符号语言：
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
符号语言：
三、典型例题
例1.已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。
例2.已知：直线l b a ,,且直线 a 平行于直线b ，A a l = ，B b l = .
求证：l b a ,,共面.
例3.已知ABC ∆在平面α外，P AB =α R AC =α Q BC =α .求证：P ,Q,R 三点共线.
例4．点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P ，
求证：P 在直线BD 上。
A
B D C
l
例5.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
例6.若l αβ= ，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。
课后复习 一、巩固练习
1.下列图形中一定是平面图形的是
A.三角形
B. 菱形
C.梯形
D.四边相等的四边形 2.正方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ，，分别是11C B AD AB ，，的中点， 那么正方体的过R Q P ，，的截面图形是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形 3.下列命题中，正确的是（ ） A ．四边形是平面图形
B ．两个平面有三个公共点，它们必然重合
C ．三条直线两两相交，它们必在同一平面内
D ．一条直线与两条平行直线相交，这三条直线必在同一平面内 4.下列推理错误的是（ ）
A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈l
B l B A l A ，，，
B ．AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα，，，
C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ，
D ．βα∈∈C B A C B A 、、，、、，且C B A 、、不共线βα、⇒⇒重合 5.若l B l A B A ∈∈∉∈，，，αα，那么直线l 与平面α有多少个公共点？ 6.在正方体1111ABCD A B C D -中， (1)1AA 与1CC 能够确定一个平面？ (2)点1,,B C D 能否确定一个平面？
(3)画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线．
7.已知ABC ∆的顶点C 在平面α内，画出平面ABC 与平面α的交线．
8.若1O 是正方体ABCD-1111D C B A 上底面上A 1B 1C 1D 1的中心，M 是对角线C A 1 和截面
A D
B 11的交点，求证：1O ,M,A 三点共线.
A B C。