高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.6曲线与方程2.6.2求曲线的方程讲义含解析苏教选修2_1

2．6.2 求曲线的方程
[对应学生用书P40]
在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，－3)，(4，－1)．问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离．
提示：MA＝(x－2)2＋(y＋3)2.
问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程．
提示：MA＝MB，
即(x－2)2＋(y＋3)2
＝(x－4)2＋(y＋1)2.
求曲线方程的一般步骤
正确认识求曲线方程的一般步骤：
(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点．
(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”．这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系．
(3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识．
(4)“化方程f(x，y)＝0为最简形式”．化简时需要使用代数中的恒等变形的方法．
(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”．这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明．
[对应学生用书P41]
[例1] △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．
[思路点拨] 由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解.
[精解详析] 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，
B (1,0)，设
C 点坐标为(x ，y )，
由已知得AC ＋BC ＝2AB .
即 (x ＋1)2＋y2＋(x －1)2＋y2＝4，
整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即x24＋y23
＝1. 又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2.
所以顶点C 的轨迹方程为
x24＋y23
＝1(x <0且x ≠－2)． [一点通]
1．“直接法”求曲线方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步，即：建系、设点→根据条件列方程→化简；
2．其中“建系”是指建立适当的直角坐标系．所谓“适当”应使计算量较小，且所得的方程形式较简单．若坐标系建立不当，计算量就会大大增加，有时很可能得不到正确的结果．
1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC
的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，
由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6. 即(x ＋1)2＋y2＋(x －1)2＋y2＝4.
化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即x24＋y23
＝1. ∵A 、B 、C 三点不能共线，
∴x ≠±2.
综上，点C 的轨迹方程为x24＋y23
＝1(x ≠±2)． 2．已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA ＋MB |＝OM ·(OA ＋OB )＋2.求曲线C 的方程．
解：由MA ＝(－2－x,1－y )，MB ＝(2－x,1－y )，得
|MA ＋MB |＝(－2x)2＋(2－2y)2，
又OM ·(OA ＋OB )＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，
由已知得 (－2x)2＋(2－2y)2＝2y ＋2，
化简得曲线C 的方程是x 2
＝4y .
[例2] 已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．
[思路点拨] 利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解．
[精解详析] 如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于
直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，
所以AP ＝PQ ，
故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线， A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．
∴p 2
＝2，∴p ＝4， ∴点P 的轨迹方程为y 2
＝－8x .
[一点通] 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然
后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征．
3．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
解：设d 是点F 到直线x ＝8的距离，
根据题意，得PF d ＝12
. 由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a2c
＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝16，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2
＝16－4＝12.
故点P 的轨迹方程为x216＋y212
＝1.
4.如图所示，已知点C 为圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心，点A (2，0)，P
是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM .
当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．
解：圆(x ＋2)2＋y 2＝4的圆心为C (－2，0)，半径r ＝2，∵MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM ，
∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，即QM 垂直平分AP .
连结AQ, 则AQ ＝QP ，
∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2.
又|AC |＝22＞2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－2，0)，A (2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，
由c ＝2，a ＝1，得b 2
＝1，
因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.
[例3] 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．
[思路点拨] 设出点P 、M 的坐标，用M 的坐标表示P 的坐标，再借助M 满足的关系即可得到P 的坐标所满足的关系．
[精解详析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，
∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋32，
y ＝y02，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x0＝2x －3，y0＝2y.
又∵M 在曲线x 2＋y 2
＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1.
∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.
[一点通] 代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程．
5．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹方程．
解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ ＝OM ＋ON ，
即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，
则x 0＝x ，y 0＝y 2
. 又因为点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4.
即x 2＋y24
＝4(y ≠0)． 所以动点Q 的轨迹方程是x24＋y216
＝1(y ≠0)． 6．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为曲线C 上的任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA ＝1∶2，当B 点在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．
解：设P 点坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x 0，y 0)，
由BP ∶PA ＝1∶2，得PA ＝2BP ，
即(3－x,1－y )＝2(x －x 0，y －y 0)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x ＝2x －2x0，1－y ＝2y －2y0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝3x －32，y0＝3y －12.
∵点B (x 0，y 0)在曲线y 2
＝x ＋1上， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫3y －122＝3x －32＋1. 化简得：⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13. 即点P 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫y －132＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13.。